Question

-x2+x+6>0 qual é a solução?

Answer 1

*Note que é uma função quadrática (ax²+bx²+c) e queremos saber, se existirem, quais valores de x tornam f(x) > 0. 


Primeiro vamos calcular o discriminante Δ da função, para saber quantas raízes ela possui (se possuir):


$\begin{array}{l}\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\\mathsf{\Delta=1^2-4\cdot(-1)\cdot6}\\\\\mathsf{\Delta=1-(-24)}\\\\\mathsf{\Delta=25}\end{array}$


Como Δ > 0 a função possui duas raízes reais e distintas. 

Usando a fórmula quadrática para descobrir as raízes da função:


$\begin{array}{l}\fbox{ \mathsf{x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}~~,~~~~x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}} }\end{array}$


Substituindo...


$\begin{array}{l}\mathsf{x_1=\dfrac{-1+5}{-2}~\rightarrow~x_1=-\dfrac{4}{2}~\rightarrow~x_1=-2}\\\\\\\mathsf{x_2=\dfrac{-1-5}{-2}~\rightarrow~x_2=\dfrac{-6}{-2}~\rightarrow~x_2=3}\end{array}$


Sempre que Δ > 0 podemos levar em consideração as seguintes situações:


1) Se x é menor que x_1, então f(x) tem o sinal de a.

2) Se x está entre x_1 e x_2, isto é, x_1 < x < x_2, então f(x) tem o sinal de
-a (atente-se ao produto de sinais).

3) Se x é maior que x_2, então f(x) tem o sinal de a.


Fazendo o estudo do sinal:


$\large\begin{array}{l}\mathsf{f(x)~~~~\underline{---}\underset{\hspace{-8}-2}\bullet^{\hspace{-5}^0}\underline{++++}\underset{3}\bullet^{\hspace{-5}^0}\underline{---}_{\blacktriangleright x}}\end{array}$


Ou seja, a inequação -x²+x+6 > 0 é satisfeita para valores de x entre x_1 e x_2.
Conjunto solução:


$\large\begin{array}{l}\fbox{ \mathsf{S=\begin{Bmatrix}x\in\mathbb{R}~|~-2\ \textless \ x\ \textless \ 2\end{Bmatrix}} }~~\leftarrow~\textsf{resposta}\end{array}$


Você pode verificar o gráfico representativo da função, está em anexo.