Question

X²+4x-12=0 responda a equacao completando quadrados

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a expressão procurada com os quadrados completados é:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \{-6,\,2\}\:\:\:}}\end{gathered} }$

A técnica de completar quadrados é muito importante quando desejamos reescrever uma expressão do segundo grau para a forma:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - x')^{2} + k\end{gathered}$

Onde:

 $\Large\begin{cases} x' = Raiz\:de\:multiplicidade\:2\\k = Constante\:pertencente\:aos\:reais\end{cases}$

Seja a equação do segundo grau:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 4x - 12 = 0\end{gathered}$

Agora devemos passar o termo independente para o segundo membro:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 4x = 12\end{gathered}$

Agora devemos adicionar a ambos os membros da equação o quadrado da metade do coeficiente do termo de "x", ou seja:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 4x + \bigg(\frac{4}{2}\bigg)^{2} = 12 + \bigg(\frac{4}{2}\bigg)^{2}\end{gathered}$

Resolver as operações e simplificar os cálculos:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x^{2} + 4x + \frac{(4)^{2}}{2^{2}} = 12 + \frac{(4)^{2}}{2^{2}}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 4x + \frac{16}{4} = 12 + \frac{16}{4}\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 4x + 4 = 12 + 4\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 4x + 4 = 16\end{gathered}$

Chegando neste ponto devemos escrever de forma fatorada o primeiro membro da equação. Desta forma, temos:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x + 2)^{2} = 16\end{gathered}$

Como também queremos resolver a equação, devemos continuar com os cálculos para encontrar as raízes. Então, temos:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x + 2) = \pm\sqrt{16}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = \pm\sqrt{16} - 2\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = \pm4 - 2\end{gathered}$

Obtendo as raízes temos:

                $\Large\begin{cases} x' = -4 - 2 = -6\\x'' = 4 - 2 = 2\end{cases}$

Portanto, o conjunto solução da referida equação é:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = \{-6,\,2\}\end{gathered}$

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