Question

X (x-1).(x-4) < 2.(x-4)

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se a seguinte inequação:

x*(x-1)*(x-4) < 2*(x-4) ---- Efetuando os produtos indicados nos 2 membros, ficaremos assim:

x³ - 5x² + 4x < 2x - 8 ---- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:

x³ - 5x²+ 4x - 2x + 8 < 0 --- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos com:

x³ - 5x² + 2x - 8 < 0       . (I) 

Agora veja que, sem muito esforço, se você aplicar as relações de Girard, vai encontrar que as raízes da equação do 3º grau acima são estas: x' = - 1; x'' = 2 e x''' = 4 .

Assim, você poderá fatorar a equação acima em função de suas raízes, da seguinte forma:

x³ - 5x² + 2x - 8 = (x+1)*(x-2)*(x-4) .

Então, colocando a fatoração acima no lugar da equação original, conforme a expressão (I),  teremos isto:

(x+1)*(x-2)*(x-4) < 0

Note que temos aí em cima o produto de três equações do 1º grau, cujo resultado final terá que ser MENOR do que zero.
Temos: f(x) = x+1; g(x) = x-2; e h(x) = x-4.

Faremos o seguinte: calcularemos as raízes de cada uma delas. Depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais de cada uma e, finalmente, encontraremos qual é o domínio da inequação originalmente dada.
Assim, teremos:

f(x) = x + 1 ---> raízes: x + 1 = 0 ---> x = - 1
g(x) = x - 2 ---> raízes: x - 2 = 0 ----> x = 2
h(x) = x - 4 ---> raízes: x - 4 = 0 ---. x = 4.

Agora vamos analisar a variação de sinais de cada uma das equações acima:


a) f(x) = x + 1 .... - - - - - - - - (-1) +++++++++++++++++++++++++++
b) g(x) = x - 2 ....- - - - - - - - - - - - - - - -  (2) +++++++++++++++++++
c) h(x) = x - 4 ...- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (4) ++++++++++++
d) a*b*c ...........- - - - - - - -  (-1)++++++++(2)- - - - - (4)+++++++++++++

Agora veja: como queremos que a inequação seja MENOR do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos no item "d" acima, que nos fornece o resultado do produto entre as três funções: f(x)*g(x)*h(x) < 0.
Assim, os intervalos do domínio da inequação original serão estes:

x < -1, ou: 2 < x < 4 ----------- Esta é a resposta. Este é o domínio da inequação original.

Se você quiser, poderá apresentar o domínio assim, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | x < -1, ou: 2 < x < 4}

Ou ainda, também se quiser, o domínio poderá ser apresentado do seguinte modo, o que significa o mesmo:

S = (-∞; -1) U (2; 4)


OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: em se tratando de funções, inequações, principalmente as de grau superior a "1", NUNCA (mas nunca mesmo) deve-se simplificar a expressão por uma incógnita ou por um binômio envolvendo incógnitas, pois, ao assim fazermos, estando eliminado raízes da expressão.
Veja este caso: se temos que: x² = x ----- você não pode (jamais) dividir ambos os membros por "x", ficando, a expressão resumida a: x = 1 <--- Veja: nesse caso, como eu parti de x² = x, encontrei que "x" é igual a "1", porque resolvi (erradamente) dividir ambos os membros por "x". Resultado: eliminou-se uma das raízes dessa equação, que seria o "0", pois as raízes de x² = x, são estas: x' = 0; e x'' = 1.
Então fica este alerta para quem interessar possa: não se deve simplificar expressões do gênero, porque, ao fazermos isso, estamos eliminando raízes dessa expressão.


Deu pra entender bem?

Adjemir.