Question

x < x² < 4x

Então, eu consegui resolver as duas inequações, mas não entendi o porquê da resposta final: S = {x € R | 1 < x < 4}. Tive bastante dificuldade na segunda inequação x²<4x.
Gostaria muito que respondessem de maneira explicativa.

Answer 1

$x < {x}^{2} < 4x$

é o mesmo que

${x}^{2} < 4x \: \: \: \: (1) \\ \\ e \\ \\ {x}^{2} > x \: \: \: (2)$


Vamos resolver a primeira inequação:


$(1) \: \: {x}^{2} < 4x \\ {x}^{2} - 4x < 0$

Vamos determinar as raízes da função correspondente:

${x}^{2} - 4x = 0 \\ x(x - 4) = 0 \\ x = 0 \: ou \: x - 4 = 0 \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: x = 4$

Lembre-se de que quando a função correspondente admite duas raízes reias diferentes, a função tem o sinal oposto ao de "a", o coeficiente de x^2, quando x está entre as raízes da equação. Logo, a solução da inequação (1) é:

S = {x pertence a R; 0 < x < 4}


Agora, vamos resolver a inequação (2):


$(2) \: \: {x}^{2} > x \\ {x}^{2} -x > 0$

Determinando as raízes da função correspondente:

${x}^{2} - x = 0 \\ x(x - 1 ) = 0 \\ x = 0 \: o u \: x - 1 = 0 \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: x = 1$


Solução da inequação (2):

S = {x pertence a R; x < 0 ou x > 1}

O conjunto solução da inequação inicial é a interseção das soluções das inequações (1) e (2):


S = {x pertence a R; 1 < x < 4}