Question

X+3/x²-3x+2dx fração parcial

Answer 1

Resposta da integral:

• -4ln(x-1)+5ln(x-2)+C

Integral Por frações parciais

Temos a seguinte integral:

$\Large \displaystyle\int \sf \dfrac{x+3}{x^2-3x+2} dx$

Primeiramente, vamos fazer a decomposição do denominador da integral. Temos o denominador, uma equação Quadrática:

• x² - 3x + 2

Ao calcular as raízes da equação, vamos ter S = {2,1}. Por produtos notáveis, as raízes vão estar negativas, subtraindo um número qualquer. Portanto:

$\Large \sf x^2 - 3x + 2 =\begin{cases} \sf x1 = 2 \\ \sf x2 = 1 </p><p> \\ </p><p>\end{cases} \rightarrow \: (x - 1).(x - 2)$

• Agora temos a integral:

$\Large \displaystyle\int \sf \dfrac{x+3}{(x-1).(x-2)} dx$

• Decompondo frações parciais, vamos dividir os denominadores e multiplicar com numeradores A e B

$\large \sf \dfrac{x+3}{(x-1).(x-2)} = \dfrac{A}{(x-1)} + \dfrac{B}{(x-2)} \rightarrow \dfrac{x+3}{\cancel{(x-1).(x-2)}} = \dfrac{A(x-2) + B(x-1)}{\cancel{(x-1).(x-2)} }$

*Denominadores iguais, cancelamos. Agora temos uma equação, vamos fazer por comparação de polinômios

$\Large \sf x +3 = A(x-2) + B(x-1) \\\\\Large \sf x+3= Ax - 2A + Bx - B \\\\\Large \sf x+3 = Ax + Bx - 2A - B \\\\\Large \sf x+3= (A+B)x -2A -B$

Veja que (A+B), tem o x, e no outro lado da equação x é 1 (1x), com isso, A+B = 1. E como (-2A-B), estão sem incógnita, como o número 3 do x+3, vamos ter que -2A-B = 3. Agora, vamos achar o valor de A e B

• Vamos fazer um sisteminha de equação, >>>> Resolvendo pelo método de adição

$\Large \begin{cases} \sf A+\not B=1 \\ \sf -2A-\not B=3 \\ </p><p>\end{cases} \\\\\ \Large \sf -A = 4 \Rightarrow \green{A = -4} \cdot \\\\\\\Large \sf B = 1-(-4) \Rightarrow \green{B = 5} \cdot$

Temos que, A = -4 e B = 5, Vamos voltar na integral e resolver, Cálculo abaixo:

$\Large \sf \displaystyle\int\dfrac{A}{(x-1)}dx +\displaystyle\int \dfrac{B}{(x-2)}dx \rightarrow \displaystyle\int\dfrac{-4}{(x-1)} dx +\displaystyle\int \dfrac{5}{(x-2)} dx$

Resolvendo as integrais separadamente

$\Large\displaystyle\int \sf \dfrac{-4}{x-1} dx \Rightarrow -4 \displaystyle\int \sf \dfrac{1}{x-1} dx \\\\\Large \sf U = x-1 \rightarrow Deriva \: U \\\\\Large \sf \dfrac{du}{dx} = 1 \leftrightarrow du = dx \rightarrow -4 \displaystyle\int \dfrac{1}{U} dx \\\\\Large \sf -4ln(U) +C_{1} \rightarrow \green{ -4ln(x-1)+C_{1} }$

• Calculando outra integral

$\Large\displaystyle\int \sf \dfrac{5}{x-2} dx \Rightarrow 5 \displaystyle\int \sf \dfrac{1}{x-2} dx \\\\\Large \sf U = x-2\rightarrow Deriva \: U \\\\\Large \sf \dfrac{du}{dx} = 1 \leftrightarrow du = dx \rightarrow 5\displaystyle\int \dfrac{1}{U} dx \\\\\Large \sf 5ln(U) +C_{2} \rightarrow \green{ 5ln(x-2)+C_{2} }$

Juntando todos os resultados, temos o resultado da nossa integral, Veja abaixo:

➡️ Resposta:

$\Large \sf \boxed{\boxed{\sf -4ln(x-1)+5ln(x-2)+C,C\in\mathbb{R}}}$

$\huge\text{\sf -----------\ \sf\small\LaTeX\ \,\huge-----------}$

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$\huge\text{\sf -----------\ \sf\small\LaTeX\ \,\huge-----------}$

$\Large \boxed{ \boxed{ \mathbb{\displaystyle\sum}\sf{uri}\tt{lo}\bf{G\Delta}}}$