Question

(x+3)⁴ alguém coloca a resposta aí, pf

Answer 1

Para resolver essa questão podemos usar dois métodos diferentes:

1. Multiplicação de produtos notáveis;
2. Resolução a partir do binômio de Newton.

Resolução 01

Para o primeiro caso, usaremos apenas o termo geral do “quadrado da soma de dois termos”, que segue o padrão:

• $\mathsf{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

Desenvolvendo cálculo, aplicando o produto notável e logo em seguida distributiva, teremos:

$\mathsf{(x+3)^4=(x+3)^2\cdot(x+3)^2}\\\\ \mathsf{(x+3)^4=(x^2+6x+3^2)\cdot(x^2+6x+3^2)}\\\\ \mathsf{(x+3)^4=(x^2+6x+9)\cdot(x^2+6x+9)}\\\\ \mathsf{(x+3)^4=x^4+6x^3+9x^2+6x^3+36x^2+54x+9x^2+54x+81}\\\\ \mathsf{(x+3)^4=x^4+6x^3+6x^3+9x^2+36x^2+9x^2+54x+54x+81}\\\\ \underline{\mathsf{(x+3)^4=x^4+12x^3+54x^2+108x+81}}$

Resolução 02

Nessa resolução, usarei o binômio de Newton, que é um método mais prático de resolver esse tipo de questão. Caso esteja no ensino fundamental, use apenas o primeiro método de resolução. Durante o desenvolvimento, usarei duas fórmulas, o termo geral :

• $\displaystyle\mathsf{(a+b)^n=\sum^n_{p=0}\binom{n}{p}a^{n-p}\cdot b^p}$

• $\displaystyle\mathsf{\binom{a}{b}=\dfrac{a!}{b!\cdot(a-b)!}}$

Desenvolvendo, passo a passo, teremos:

$\displaystyle\mathsf{(x+3)^4=\sum^n_{p=0}\binom{n}{p}a^{n-p}\cdot b^p}\\\\\displaystyle\mathsf{(x+3)^4=\binom{4}{0}x^{4-0}\cdot3^0+\binom{4}{1}x^{4-1}\cdot3^1+\binom{4}{2}x^{4-2}\cdot3^2+\binom{4}{3}x^{4-3}\cdot3^3+\binom{4}{4}x^{4-4}\cdot3^4}\\\\\displaystyle\mathsf{(x+3)^4=\binom{4}{0}x^4\cdot3^0+\binom{4}{1}x^3\cdot3^1+\binom{4}{2}x^2\cdot3^2+\binom{4}{3}x^1\cdot3^3+\binom{4}{4}x^0\cdot3^4}\\\\\displaystyle\mathsf{(x+3)^4=\binom{4}{0}x^4\cdot1+\binom{4}{1}x^3\cdot3+\binom{4}{2}x^2\cdot9+\binom{4}{3}x^1\cdot27+\binom{4}{4}1\cdot81}\\\\\displaystyle\mathsf{(x+3)^4=\binom{4}{0}x^4+\binom{4}{1}3x^3+\binom{4}{2}9x^2+\binom{4}{3}27x^1+\binom{4}{4}81}$

Alguns binômios são iguais, então, precisamos calcula-los apenas uma vez. São eles:

$\displaystyle\mathsf{\binom{4}{0}=\binom{4}{4}~\therefore~\binom{4}{1}=\binom{4}{3}}\\\\\displaystyle\mathsf{\dfrac{4!}{0!(4-0)!}=\dfrac{4!}{4!(4-4)!}~\therefore~\dfrac{4!}{1!(4-1)!}=\dfrac{4!}{3!(4-3)!}}\\\\ \mathsf{\dfrac{4!}{0!\cdot4!}=\dfrac{4!}{4!\cdot0!}~\therefore~\dfrac{4!}{1!\cdot3!}=\dfrac{4!}{3!\cdot1!}}\\\\ \mathsf{1=1~\therefore~4=4}$

Substituindo os valores acima no cálculo principal, teremos:

$\displaystyle\mathsf{(x+3)^4=\binom{4}{0}x^4+\binom{4}{1}3x^3+\binom{4}{2}9x^2+\binom{4}{3}27x^1+\binom{4}{4}81}\\\\\displaystyle\mathsf{(x+3)^4=1\cdot x^4+4\cdot 3x^3+\binom{4}{2}9x^2+4\cdot 27x^1+1\cdot 81}\\\\ \mathsf{(x+3)^4=x^4+12x^3+\dfrac{4!}{2!(4-2)!}\cdot9x^2+108x+81}\\\\ \mathsf{(x+3)^4=x^4+12x^3+\dfrac{4\cdot3\cdot2!}{2!2!}\cdot9x^2+108x+81}\\\\ \mathsf{(x+3)^4=x^4+12x^3+6\cdot9x^2+108x+81}\\\\ \underline{\mathsf{(x+3)^4=x^4+12x^3+54x^2+108x+81}}$

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