x(2x+1)(x2-8x-9)<0 qual a resposta?????
Soluções para a tarefa
Vamos separar essa inequação em 2 partes :
x(2x+1) = 2x² + x
Então a inequação pode ser reescrita assim :
(2x² + x) (x² -8x -9) < 0
Como são 2 equações de 2° grau então basta encontrar as raízes de cada equação e fazer a regrinha de sinais na reta numerada.
Vamos calcular as raízes da 1a. equação:
2x² + x = 0
x(2x + 1) = 0
Logo para satisfazer uma equação onde o produto vale 0 significa que
um fator vale 0 ou outro fator vale 0
Sendo assim 1° fator x tem que ser nulo o que significa que x = 0
ou o 2° fator tem que ser nulo, ou seja, 2x + 1 = 0
2x = -1
x = -1/2
Então a 1a. equação tem raízes -1/2 e 0.
Como o coeficiente (a) dessa equação vale 1 sendo positivo portanto
significa que a função (2x² + x) é positiva para x < -1/2 ou para x > 0
e a mesma é negativa no intervalo entre as raízes ou seja para -1/2 < x < 0.
Vamos agora para a segunda equação ( x² -8x -9) = 0
Discriminante )(delta) Δ = b² -4ac = (-8)² - 4. 1 . (-9) =
= 64 + 36 = 100 . Logo √Δ = √100 = -10 ou +10.
As raízes da equação são x1,2 = (-b -+ √Δ) / 2a =
x1,2 = (-(-8) -+ 10) / 2 =
x1 = (8 -10) /2 = -2/2 = -1
x2 = (8 + 10)/2 = 18/2 = 9
Como o coeficiente (a) dessa equação é positivo então a função x²-8x-9 cujo
gráfico é uma parábola (como se sabe) será positiva no intervalo fora das raízes ou negativa no intervalo entre as raízes ou seja :
(x² - 8x - 9) > 0 para x < -1 ou para x > 9
(x² -8x -9) < 0 para -1 < x < 9
Voltando ao produto inicial (2x² + x)(x²-8x-9) < 0
significa que esse produto só será negativo quando as funções tiverem sinais contrários ou seja se para determinado valor de x uma for (+) a outra deverá ser (-) e vice-versa.
Colocando os valores das raízes na reta numerada temos para a 1a. equação
.++++++++++++++(-1/2)------------0++++++++++++++++++++++.> e para a 2a.
++++++.(-1)----------------------------0-------------------9++++++++++..>
Logo a reta numerada que define o produto das 2 funções será :
++++++(-1)----------(-1/2)++++++0-------------------9+++++++++++>
Portanto a inequação será < 0 (negativa) no intervalo -1 < x < -1/2 ou
no intervalo 0 < x < 9