Question

(x+2)/(x-2)-8/(x^2-2x)=2/x

Answer 1

$\displaystyle \sf \underline{\text{condi{\c c}{\~a}o de exist{\^e}ncia}}: \\\\ x \neq 0\\\\ x^2-2x \neq 0 \to x\neq 0 \ e\ x\neq 2 \\\\ Da{\'i}}: \\\\ \frac{x+2}{x-2}-\frac{8}{x^2-2x}=\frac{2}{x} \\\\\\ \frac{x(x+2)}{x(x-2)}-\frac{8}{x(x-2)} = \frac{2}{x} \\\\\\\ \frac{x^2+2x}{x-2}-\frac{8}{x-2}=2 \\\\\\ \frac{x^2+2x-8 }{x-2}=2 \\\\\\ x^2+2x-8=2(x-2) \\\\ x^2+2x-8=2x-4\\\\ x^2+2x-8-2x+4=0 \\\\ x^2-4 = 0\\\\ x=\pm\sqrt{4} \\\\ x=\pm 2 \to x\neq 2\\\\ Portanto : \\\\ \huge\boxed{\sf x=-2}\checkmark$

OBS : Caso o latex não carregue no celular, segue a resolução normal:

condição de existência.

x-2 ≠ 0 , logo , x ≠ 2

x^2-2x ≠ 0 , logo , x ≠ 0 e x ≠2

Daí :

(x+2)/(x-2)-8/(x^2-2x)=2/x

(x+2)/(x-2) - 8/x(x-2) = 2/x

x(x+2)/x(x-2)-8/x(x-2)=2/x

simplificando o x do denominador em ambos os lados

x(x+2)/(x-2)-8/(x-2) = 2

( x^2+2x - 8 )/(x-2) = 2

x^2+2x-8 = 2(x-2)

x^2+2x-8=2x-4

x^2+2x-2x-8+4 = 0

x^2 - 4 = 0

x^2 = 4

x = +2 ou x = -2

Mas pela condição de existência x tem q ser diferente de 2, logo :

x = -2