Question

A área de uma região fechada e limitada R no plano de coordenadas polares é A=. Sendo assim, determine a área em coordenadas polares, a, onde R é a região semicircular limitada pelo eixo x e a curva y= (1-x²)^1/2

Answer 1

⇒ ( C ) Aplicando nossos conhecimentos integral dupla em coordenadas polares, concluímos que a área da região pedia é π/4.

➜   A curva y = √(1 - x²) é a equação de uma semicircunferência de raio 1, e com centro na origem. A região de integração está representada na Figura em anexo.

Em coordenadas polares a função f(x, y) = x² + y² é igual a  $\large{f( r,\theta ) =r^{2}}$. E a equação de uma circunferência centrada na origem de raio igual a 1 é r = 1. Para a integral dupla, o raio varia de 0 a 1, e o ângulo  $\large{\theta }$  varia de 0 a π.

∴   A integral dupla para a região é

$\large{\text{ \begin{array}{l}\displaystyle\iint _{R} x^{2} +y^{2} dR=\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{r=0}^{1} r^{2} rdrd\theta =\\\\=\displaystyle\int _{0}^{\pi }\frac{r^{4}}{4}\Bigl|_{0}^{1} d\theta \\\\=\displaystyle\dfrac{1}{4}\int _{0}^{\pi } d\theta \\\\=\displaystyle\dfrac{1}{4} \theta \Bigl|_{0}^{\pi }\\\\=\underline{\underline{\dfrac{\pi }{4}}}\end{array} }}$

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