Walter pegou um cubo de madeira e colocou sobre um copo da seguinte maneira: .apenas um vértice do cubo ficou no interior do copo conforme a figura . Os pontos comum ao cubo e ao copo determinaram um triângulo equilátero. Sabendo que a borda do copo é uma circunferência de raio igual a 2√3 cm, calcule o volume da parte do cubo que ficou no interior desse copo
Soluções para a tarefa
A figura referente à sua questão segue em anexo.
Temos uma pirâmide. E para calcular seu volume precisamos achar a área da base e a altura.
O triângulo equilátero ABC representa a intersecção do cubo com a borda do copo, cujo raio é OC = 2√3.
Sendo OH a apótema do triângulo ABC, OH = √3 (pois apótema é igual a R/2).
Como o triângulo é equilátero, todos os seus ângulos medem 60°.
No triângulo retângulo BHC, temos que:
HC = BC · sen 60°
3√3 = BC · √3/2
BC = 3√3 ÷ √3/2
BC = 3 · 2
BC = 6 cm
Logo, AB e AC também medem 6 cm.
Agora, podemos calcular a área da base da pirâmide.
Ab = BC²·√3/4
Ab = 6²·√3/4
Ab = 36·√3/4
Ab = 9√3 cm²
Partimos agora para achar a medida da altura.
Os triângulos VAB, VAC e VBC são retângulos e congruentes.
AB² = 2a² ⇒ 6² = 2a² ⇒ 36 = 2a² ⇒ a² = 18 ⇒ a = √18 ⇒ a = 3√2
No triângulo retângulo VOC, temos:
a² = h² + (2√3)²
(3√2)² = h² + 12
18 = h² + 12
h² = 18 - 12 ⇒ h² = 6 ⇒ h = √6 cm
Por fim, calculamos o volume da pirâmide VABC.
V = Ab · h/3
V = 9√3 · √6/3
V = 9·√18/3
V = 3√18
V = 3·3√2
V = 9√2 cm³
Resposta: O volume é 9√2 cm³.
