(Vunesp-SP) Considere o número inteiro 3.600, cuja fatoração em primos é 3.600 = 2⁴ *3² * 5². Os divisores inteiros e positivos de 3.600 são os números da forma 2^α * 3^β * 5^γ, com α = {0,1,2,3,4}, β = {0,1,2} e γ = {0,1,2}. Determine:
a) o número total de divisores inteiros e positivos de 3.600 e quantos desses divisores são também divisores de 720.
b) quantos dos divisores inteiros e positivos de 3.600 são pares e quantos são quadrados perfeitos.
Soluções para a tarefa
Resposta:
a) 45 e 30
b) 36 e 12
Explicação passo a passo:
Sabemos que os divisores primos de 3.600 é 2⁴ *3² * 5²
Através desse dado é possível encontrar o número de divisores totais para 3600.
Considerando 3600 ∈ Z. Sendo 2,3 e 5 números primos e seus expoentes sendo números naturais, utilizamos a formula:;
[D(k)] = (m+1)*(n+1)*(p+1)+...
sendo as letras m, n e p as representantes do expoente.
[D(3600)] = (4+1)*(2+1)*(2+1)
[D(3600)] = 5*3*3
[D(3600)] = 15*3
[D(3600)] = 45
Fatorando o número 720
720|2
360|2
180|2
90|2
45|3
15|3
5|5
1|1
Como resultado, da fatoração obtemos 2⁴*3²*5
Utilizando-se da formula anteriormente descrita:
[D(3600)] = (4+1)*(2+1)*(1+1)
[D(3600)] = 5*3*2
[D(3600)] = 30
Como 3600 e 720 possuem relação de divisibilidade e multiplicidade, é possível concluir que dos 45 divisores de 3600, 30 deles são também divisores de 720.
b) Utilizando como informação o intervalo de números possíveis para expoente de 2,3 e 5 conseguimos fazer algumas observações.
Primeiro é importante lembrar que um número impar é sempre resultado da multiplicação de 2 outros números impares. Já o número par pode ser obtido multiplicando um número impar com um par ou multiplicando dois números pares.
Seguindo por essa lógica, fica mais prático achar os números impares que são resultado da potenciação dos mesmos e da multiplicação entre impares que foram achados.
1° 2^α só resultará em apenas 1 número impar, que é resultado de 2⁰ que resulta em 1. Do contrário, todo número par elevado a qualquer outro número diferente de 0 será um número par.
Sendo assim, não utilizamos, por agora, a potenciação 2^α
2°
Vou seguir com 2 raciocínios diferentes:
- Como os demais números de base são impares, podemos dar continuidade com eles, assim sendo:
3^β | β= {0,1,2} 5^γ | γ = {0,1,2}
3⁰ = 1 5⁰ = 1
3¹ = 3 5¹ = 5
3² = 9 5² = 25
Multiplicando os valores de 3 e os valores de 5, obtemos
3*5 = 15
3*25 = 75
5*9 = 45
25*9 = 275
Fazendo a conta dos valores obtidos, chegamos a 9. (Lembrando-se, conta-se o 1 e números repetidos apenas uma vez)
2. Calculando o valor de divisores possíveis, considerando apenas as potências com base impar (3e5):
[D(3600)} = (2+1)*(2+1)
[D(3600)} = 3*3
[D(3600)} = 9
Pela subtração:
45-9=36
Então, dos 45 números, 36 são pares.
Os quadrados perfeitos são aqueles números resultado da multiplicação entre 2 iguais. Como 4 é um quadrado perfeito de 2.
Vou seguir com 2 raciocínios diferentes:
Avaliando cada uma das potenciações, obtemos:
2/3/5⁰ = 1
2² = 4
2⁴ = 16
3² = 9
5² = 25
Multiplicando entre os quadrados:
9*25 = 225
9*16 = 144
9*4 = 36
25*16 = 400
25*4 = 100
Agora, multiplicamos 3 quadrados advindos de bases diferentes.
2² + 3² + 5² ↦ 4*9*25 = 900
2⁴ + 3² + 5² ↦ 16*9*25 = 3600
(Observe que não repetimos o expoente, apenas a base 2 é mantida nos dois cálculos e o expoente é diferente).
Fazendo a conta, obtemos 12 quadrados perfeitos.
2. Utilizando-se da fatoração de raiz quadrada conseguimos obter o resultado e agrupar os seus fatores com índice igual a 2.
3600|2
1800|2
900|2
450|2
225|3
75|3
25|5
5|5
1|1
Mantendo em quadrados:
2²*2²*3²*5²
Tirando a raiz
2*2*3¹*5¹= 2²*3¹*5¹
Agora usamos como base de cálculo a fatoração 2²*3¹*5¹
[D(3600)} = (2+1)*(1+1)*(1+1)
[D(3600)} = 3*2*2
[D(3600)} = 12
_______________________________________________________
Potenciação de todos os números:
2⁰ = 1 3⁰ = 1 5⁰ = 1
2¹ = 2 3¹ = 3 5¹ = 5
2² = 4 3² = 9 5² = 25
2³ = 8
2⁴ = 16