Question

Você salta de uma plataforma a uma altura de 134 m sobre o rio Nevis (Nova Zelândia). Após cair livremente por 40 m, a corda do bungee-jump presa a seus tornozelos começa a se distender. O comprimento da corda relaxada é 40 m. Você continua a descer outros 80 m até atingir o repouso, antes de começar a subir novamente. Se sua massa é 100 kg e a corda segue a lei de Hooke e tem massa desprezível, qual é a sua aceleração quando você está momentaneamente em repouso, no ponto mais baixo do salto, antes de começar a subir novamente? Despreze as correntes de ar

Answer 1

Como estamos observando um caso ideal, garantido pelo texto quando diz que a corda não possui massa e as correntes de ar são desprezíveis, podemos afirmar que a energia não será "perdida", ou seja, a energia inicial será igual a energia final.

Obs.: No desenho anexado, podemos ver três momentos: Instante inicial, instante que a corda atinge sua extensão máxima (sem distensão) e o instante final.

No instante inicial, estamos em repouso na plataforma, ou seja, a energia neste momento será dada apenas pela energia potencial gravitacional.

Vamos determinar quanto vale:

$E_{pg}~=~m\cdot g\cdot h\\\\\\Assumindo~g=10m/s^2\\\\\\E_{pg}~=~100\cdot10\cdot134\\\\\\\boxed{E_{pg}~=~134000~Joules}$

No instante final, quando estamos prestes a ser arremessados de volta para cima, devido a corda elástica, a energia é dada pela soma da energia potencial gravitacional e pela energia potencial elástica.

Vamos primeiro calcular a altura que estamos neste instante:

$h~=~134\,m~-~40\,m~-~80\,m\\\\\boxed{h~=~14\,m}$

O texto nos diz que a corda se distende por 80 m, sendo assim, podemos agora equacionar as energias:

$Energia_{inicial}~=~Energia_{final}\\\\\\134000\,J~=~m\cdot g\cdot h~+~\dfrac{K\cdot x^2}{2}\\\\\\134000~=~100\cdot10\cdot 14~+~\dfrac{K\cdot 80^2}{2}\\\\\\134000~=~14000~+~\dfrac{K\cdot 6400}{2}\\\\\\134000-14000~=~3200\cdot K\\\\\\K~=~\dfrac{120000}{3200}\\\\\\\boxed{K~=~37,5~N/m}$

Temos agora o valor da constante de elasticidade da corda.

Observe no desenho que, no instante final, temos duas forças atuando no nosso corpo: força peso e força elástica.

Como estamos prestes a ser arremessados pra cima, fica claro que a força elástica nesse ponto tem modulo superior ao da força peso e, sendo assim, para simplificar, vamos considerar que, para cima, a força terá sinal positivo e para baixo, negativo.

A força resultante fica:

$F_r~=~F_{elastica}~-~P\\\\\\F_r~=~k\cdot x~-~m\cdot g\\\\\\F_r~=~37,5\cdot 80~-~100\cdot10\\\\\\F_r~=~3000~-~1000\\\\\\\boxed{F_r~=~2000\,N}$

Por fim, para calcularmos a aceleração adquirida, utilizaremos a 2ª lei de Newton:

$F~=~m\cdot a\\\\\\2000~=~100\cdot a\\\\\\a~=~\dfrac{2000}{100}\\\\\\\boxed{a~=~20~m/s^2}$