Question

Você lembra que, se três termos estão em PA então o termo médio é igual à média aritmética dos extremos.

Se três termos a1, a2, a3 estão em PG, então o módulo do termo do meio é igual à média geométrica entre os extremos, ou seja, |a2|=√a1•a3 ou ainda (a2)²=a1•a3. Demostre que essas igualdades são verdadeiras.

Answer 1

Resposta:

A demonstração encontra-se na explicação passo a passo.

Explicação passo a passo:

Provar que em uma PG (a₁, a₂, a₃, ...) o termo médio satisfaz a seguinte propriedade:

aₙ² = aₙ₋₁ . aₙ₊₁, isto é, aₙ é média geométrica entre aₙ₋₁ e aₙ₊₁.

Demonstração:

Em toda PG temos:

aₙ = aₙ

aₙ₋₁ = aₙ / q

aₙ₊₁ = aₙ . q

Por hipótese

|aₙ| = √(aₙ)²

|aₙ| = √(aₙ / q . aₙ . q) dividindo e multiplicando por q para não alterar a igualdade.

|aₙ| = √(aₙ₋₁ . aₙ₊₁) ou aₙ² = aₙ₋₁ . aₙ₊₁

                                                                                  c.q.d.