Question

Vi em algumas resoluções que ρ=2, mas não consigo entender o porquê.

Answer 1

Se w₀ é raiz de w⁵, então (w₀)⁵ = z

w₀ é a única raiz complexa dada no círculo trigonométrico da questão, então, devemos colocar ele na forma trigonométrica:

w₀ = p.[cos(12⁰) + i.sen(12⁰)]

Se você lembrar da definição de como é composto um número complexo na forma trigonométrica, vai ver que p = 2 (vide imagem), porque 2 é o raio da circunferência, exatamente igual a hipotenusa do triângulo em que w₀ se encontra, então:

w₀ = 2[cos(12⁰) + i.sen(12⁰)]

Como w₀ é raiz da equação w⁵ = z, então é só substituir:

$z = (w_o)^5 \\ z = [2(cos(12^o) + i.sen(12^o)]^5 \\ z = 2^5[cos(12.5) + i.sen(12.5)] \\ z = 32[cos(60^o) + i.sen(60^o)] \\ z = 32[ \frac{1}{2} + i.\frac{\sqrt{3}}{2}] \\ \\ z = 16 + i.16\sqrt{3}$