Question

VETORESS Sejam r1 e R2 duas retas não paralelas no plano.
a) determine o lugar geométrico dos pontos no plano que equidistam de r1 e r2.
b)Se as retas r1 e r2 tem equações
y - √3x/3 = 0 e y - √3x = 0, respectivamente, determine uma equação para o lugar geométrico descrito em a.
c)Se as retas r1 e r2 tiverem equações ax + by +c = 0 e dx + by + f = 0, respectivamente, determine uma equação geral para o lugar geométrico descrito em a

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Answer 1

a)

Seja O o ponto de encontro das duas retas e P um ponto qualquer em algum dos 4 setores delimitados por essas retas (veja figura). Para que o ponto P seja equidistante das duas retas, devemos ter |PQ₁| =|PQ₂| (O "módulo" denota o comprimento dos segmentos). Daí os triângulos OPQ₁ e OPQ₂ são congruentes (teorema de pitágoras + caso LLL  de congruência). Ou seja, os ângulos α₁ e α₂ são iguais. Isso quer dizer que o ponto P está na bissetriz das retas r₁ e r₂. Similarmente, se P está na bissetriz, os triângulos são congruentes (caso ALA) e P é equidistante. Com isso concluímos que o lugar geométrico dos pontos equidistantes a duas retas concorrentes são as bissetrizes (são duas).

b)

Essas retas passam pela origem fazendo ângulos de 30° e 60° com o eixo x. Isso quer dizer que as bissetrizes fazem ângulos de 45° e 135°. Ou seja, são as retas y = x e y = -x.  (Observe que a equação y² = x² representa essas duas retas ao mesmo tempo.)

Dá pra fazer sem ser no processo de "adivinhação" usando trigonometria, mas como vc irá achar a fórmula geral no item c de uma maneira muito mais fácil, acho que não precisa desenvolver muito aqui...

c)

Seja P = (X,Y) um ponto equidistante das duas retas. A distância de P até a reta ax+by+c = 0 é dada por

$\dfrac{| aX + bY+c|}{\sqrt{ a^2 + b^2}}$

Da mesma forma, a distância de P à reta dx + ey + f = 0 é

$\dfrac{| dX + eY+f|}{\sqrt{ d^2 + e^2}}$

Pra essas duas distâncias serem iguais temos:

$\dfrac{| aX + bY+c|}{\sqrt{ a^2 + b^2}} = \dfrac{| dX + eY+f|}{\sqrt{ d^2 + e^2}}$

Assim, uma das bissetrizes é dada pela equação:

$\dfrac{ ax + by+c}{\sqrt{ a^2 + b^2}} - \dfrac{ dx + ey+f}{\sqrt{ d^2 + e^2}} = 0$

E  a outra bissetriz é dada por

$\dfrac{ ax + by+c}{\sqrt{ a^2 + b^2}} + \dfrac{ dx + ey+f}{\sqrt{ d^2 + e^2}} = 0$

Se quiser da pra colocar naquela forma (alguma coisa)x + (outra coisa)y + (alguma outra coisa) = 0 mas acho desnecessário

Se vc quiser aplicar isso no item b) temos:

a = -√3 / 3     b = 1      c = 0

d = -√3          e = 1      f = 0

Com isso a primeira bissetriz seria:

$\dfrac{\frac{ -\sqrt 3}{3}x + y}{\sqrt{ 4/3 \,}} - \dfrac{ - \sqrt 3 x + y}{\sqrt{ 4\,}} = 0\implies -x + y \sqrt 3 +x\sqrt 3 - y = 0 \implies \boxed{x+y =0 }$

E  a outra

$\dfrac{\frac{ -\sqrt 3}{3}x + y}{\sqrt{ 4/3 \,}} + \dfrac{ - \sqrt 3 x + y}{\sqrt{ 4\,}} = 0\implies -x + y \sqrt 3 -x\sqrt 3 + y = 0 \implies \boxed{x-y =0 }$

Obs.:

Podemos representar a equação das duas bissetrizes ao mesmo tempo por

$\dfrac{ (ax + by+c)^2}{ a^2 + b^2} = \dfrac{ (dx + ey+f)^2}{ d^2 + e^2}$