VETORESS Sejam os pontos A (1, 1, 1), B (0,0,1) e a reta r: (x,y,z) = (1,0,0) +t (1,1,1), t pertence aos reais. Quantos e quais pontos de r são equidistantes de A e B? Justifique sua resposta
Soluções para a tarefa
Resposta:
O único ponto é (1,0,0)
Explicação passo-a-passo:
Queremos os pontos da reta r que são equidistantes de A e de B. Seja X = (x,y,z) um ponto de r. Daí temos:
d²(A,X) = d²(B,X) ( I )
(x-1)² + (y-1)² + (z-1)² = x² + y² + (z-1)²
Substituindo (x,y,z) por (1,0,0) +t (1,1,1) temos
t² + (t-1)² + (t-1)² = (t+1)² + t² + (t-1)²
t² - 2t + 1 = t² + 2t + 1
t = 0
Assim o único ponto de r equidistante de A e de B é o ponto
(1,0,0) + 0(1,1,1) = (1,0,0)
Outra maneira:
No espaço, dados dois pontos A e B, o conjunto dos pontos equidistantes a ambos é um plano chamado plano mediador (é o análogo a reta mediatriz no plano). Assim, dada uma reta temos 3 possibilidades:
1) A reta esta contida no plano mediador
Isso quer dizer que todos os pontos da reta são equidistantes de A e B
2) A reta e o plano são concorrentes, tem um único ponto em comum
Isso quer dizer que existe um único ponto da reta equidistante de A e B
3) A reta e o plano são paralelas.
Isso quer dizer que não há pontos da reta equidistantes de A e B
O plano mediador é perpendicular ao segmento AB e passa pelo seu ponto médio. Ou seja, o vetor A - B = (1,1,0) é normal ao plano e ele passa por (A+B)/2 = (1/2, 1/2,1). Logo, o plano é x+y =1. Precisamos achar a interseção desse plano com a reta. Ou seja, resolver o sistema:
x+y =1
(x,y,z) = (1,0,0) +t (1,1,1)
Substituindo a segunda na primeira segue que
(t+1) + t = 1 ⇒ t = 0
Daí encontramos a mesma solução anteriormente.
Obs.: nesse caso a solução deu um pouco mais de trabalho, mas note que o sistema a ser resolvido aqui é linear. As vezes isso é útil quando precisamos evitar os quadrados que aparecem quando usamos distância, como em ( I ).