Question

(Vetores)-No paralelepípedo da figura, ABCD é um quadrado de lado a e a aresta maior mede 4a. Uma mosca pousada no ponto médio da diagonal EG voa até seu alimento que está na diagonal principal AG do paralelepípedo em um ponto que dista a do vértice A. Determine o módulo do vetor deslocamento da mosca.

Answer 1

O vetor deslocamento independe da trajetória do voo da mosca e seu módulo é dado pela reta que une os pontos de saída e de chegada.
Considerando positivos os eixos nos seguintes sentidos: + x = AE; + y = AB e z = AD e colocando o ponto A na origem dos eixos (0, 0, 0), podemos localizar os vetores posição inicial (Pi) e posição final (Pf) da mosca:

Pi = 4a no x, meio a no y e meio a no eixo z
Pi = (4a, a/2, a/2)

Pf = foi dado seu módulo (a). Se a mosca estivesse exatamente no ponto G, Pf seria (4a, a, a). Porém, o ponto de chegada está na reta AG e, portanto, a mesma proporção 4:1:1 é mantida. Chamando de b o fator de proporção do vetor Pf e calculando seu módulo, podemos encontrar b:

Pf^2 = (4b)^2 + b^2 + b^2
a^2 = 18b^2
b = a.raiz(1/18)

Logo Pf = (4.a.raiz(1/18), a.raiz(1/18), a.raiz(1/18))

Resta calcular o módulo de Pf - Pi:

Pf - Pi = (4a.raiz(1/18) - 4a, a.raiz(1/18) - a/2, a.raiz(1/18) - a/2)

|Pf - Pi|^2 = x^2 + y^2 + z^2

Calculando cada termo separadamente:
x^2 = (16a^2)/18 - 32a^2.raiz(1/18) + 16a^2
y^2 = (a^2)/18 - a^2.raiz(1/18) + (a^2)/4
z^2 = (a^2)/18 - a^2.raiz(1/18) + (a^2)/4

Somando os termos e calculando o módulo:
|Pf - Pi|^2 = (18a^2)/18 - 34a^2.raiz(1/18) + (33a^2)/2
|Pf - Pi|^2 = (18 + 297)a^2/18 - 34a^2.raiz(1/18)
|Pf - Pi|^2 = (315a^2/18) - 34a^2.(raiz18)/18
|Pf - Pi| = a.raiz[(315/18) - 34(raiz18)/18]
|Pf - Pi| = a.raiz{[315 - 34(raiz18)]/18}.