Question

VETOREEES Determine as equações das retas nas formas vetorial, paramétrica e simétrica que passam
pelo ponto A (3, 1), tal que a distância dessas retas até o ponto B (−1, 1) é 2√2.​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Seja r a reta que procuramos e P ∈ r o ponto mais próximo de B. Isso quer dizer que os vetores AP e BP são perpendiculares. Logo seu produto escalar é 0:

AP = (x,y) - (3,1) = (x-3, y-1)

BP = (x,y) - (-1,1) = (x+1, y-1)

Logo:

AP·BP = (x-3,y-1)·(x+1,y-1) = 0

(x-3)(x+1)  + (y-1)² = 0    ( I )

Além disso, a distância de P até B é 2√2.. Ou seja:

(2√2)² = (x+1)² + (y-1)²

(y-1)² = 8 - (x+1)²  ( II )

Substituindo ( II ) em ( I ) obtemos:

(x-3)(x+1) + 8 - (x+1)² = 0

x² - 2x - 3 - x² - 2x - 1 + 8 = 0

x = 1

Substituindo agora em ( II ) temos

(y-1)² = 8 - 4 =4

y - 1 = ±2

y = 3 ou y = -1

Assim temos duas opções para reta r que procuramos. A que passa pelos pontos (3,1) e (1,3) ou a que passa pelos pontos (3,1) e (1,-1). Basta achar as equações agora.

1) Reta passando por (3,1) e (1,3)

O vetor (3,1) - (1,3) = (2,-2) é paralelo a reta. Então (1,-1) também é paralelo. Daí uma equação vetorial é:

(x,y) = (3,1) + t (1,-1)

Você pode escrever isso como

x = 3 + t

y = 1 - t

Que é a equação paramétrica

Isolando t nas equações acima e igualando temos

(x-3)/1 = -(y-1)/1

Que é a equação simétrica

2) Reta passando por (3,1) e (1,-1)

O vetor (3,1) - (1,-1) = (2,2) é paralelo a reta. Então (1,1) também é. Daí uma equação vetorial é:

(x,y) = (3,1) + t (1,1)

Você pode escrever isso como

x = 3+t

y = 1 + t

Que é a equação paramétrica

Isolando t nas equações acima e igualando temos

(x-3)/1 = (y-1)/1

Que é a equação simétrica