Question

VETOREEEEES Determine o lugar geométrico dos pontos no plano cuja distância a reta x−2 = 0 é sempre

3 unidades maior que a distância até o ponto (-1, -3).​

Answer 1

Resposta:

É uma semirreta horizontal partindo de (-1,-3) e indo para a esquerda. Ou seja, o conjunto  {(x,y) ∈ R²;  x  ≤ -1 e y = -3}

Explicação passo-a-passo:

Seja P = (x,y) um ponto

A distância d de P até o ponto  (-1,-3) pode ser calculada por (vou colocar a distância ao quadrado para evitarmos raízes):

d² = (x+1)² + (y+3)²

A distância D de P até a reta x= 2 é (geralmente isso é chatinho de calcular, mas como a reta é horizontal, basta ver a diferença entre as abscissas. Faça um desenho para "acreditar")

D = |x-2|  

No caso procurarmos todos os pontos que satisfazem D = d+3, ou seja, D-3 = d. Para tirar esse módulo chato de D, vamos dividir em dois casos:

1° caso: P está a esquerda de reta. Isso quer dizer que x ≤ 2, daí D = 2-x

Portanto temos:

d = D-3 = -1-x  

(Observe que a equação acima implica x ≤ -1. Como vamos elevar ao quadrado temos que prestar atenção no domínio)

d² = (-1-x)² = (x+1)²

(x+1)² + (y+3)² = (x+1)²

(y+3)² = 0

y = -3

Ou seja, obtemos os pontos satisfazendo y = -3 e x ≤ -1. Como a equação foi elevada ao quadrado é necessário verificar se esses pontos realmente satisfazem as condições que queremos. De fato, se P = (x,-3) com x  ≤  -1, a distância de P ao ponto (-1,-3) é -x-1 e a distância de P a reta é -x+2. Assim, esses pontos estão no lugar geométrico que procuramos.

2° caso: P está a direita de reta. Nesse caso, como (-1,-3) está a esquerda, P sempre estará mais próximo da reta do que de (-1,-3). Ou seja, não temos nenhum ponto do lugar geométrico nessas condições (você pode resolver a equação nesse caso se quiser, mas nenhuma solução irá servir).

Logo, o lugar geométrico é

L = {(x,y) ∈ R²;  x  ≤ -1 e y = -3}

(Isso é uma semirreta horizontal partindo de (-1,-3) e indo para a esquerda)