Question

verifique si os pontos A (1,2) , B(7,2) e C (7,10) são vértices de um triângulo retângulo justifique sua resposta ?​

Answer 1

Temos diversas formas de resolver este exercício.

A forma que vou propor será:

--> Calcular a medida dos 3 lados do triangulo (AB , AC e BC).

--> Verificar se essas medidas obedecem o Teorema de Pitágoras.

Para calcular a medida dos lados, vamos utilizar a equação da distancia entre dois pontos.

$Medida~de~\overline{AB}~=~\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}\\\\\\Medida~de~\overline{AB}~=~\sqrt{(1-7)^2+(2-2)^2}\\\\\\Medida~de~\overline{AB}~=~\sqrt{36+0}\\\\\\\boxed{Medida~de~\overline{AB}~=~6~unidades~de~comprimento}\\\\\\\\Medida~de~\overline{AC}~=~\sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2}\\\\\\Medida~de~\overline{AC}~=~\sqrt{(1-7)^2+(2-10)^2}\\\\\\Medida~de~\overline{AC}~=~\sqrt{36+64}\\\\\\\boxed{Medida~de~\overline{AC}~=~10~unidades~de~comprimento}$

$Medida~de~\overline{BC}~=~\sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2}\\\\\\Medida~de~\overline{BC}~=~\sqrt{(7-7)^2+(2-10)^2}\\\\\\Medida~de~\overline{BC}~=~\sqrt{0+64}\\\\\\\boxed{Medida~de~\overline{BC}~=~8~unidades~de~comprimento}$

Agora, vamos ver se essas medidas verificam o Teorema de Pitágoras.

Sabemos que, no triangulo retângulo, o lado de maior medida é a hipotenusa e os outros dois são os catetos, logo:

$\rightarrow~Hipotenusa:~\overline{AC}\\\\\rightarrow~Catetos:~\overline{AB}~e~\overline{BC}\\\\\\Hipotenusa^2~=~Cateto_1^{~2}~+~Cateto_2^{~2}\\\\\\10^2~=~8^2~+~6^2\\\\\\100~=~64~+~36\\\\\\100~=~100~~\boxed{\checkmark}$

Resposta: Como o teorema foi verificado, os pontos são sim vertices de um triangulo retangulo.