Question

Verifique se W= {(x, y, z) ∈ V : x ≤ y ≤ z} é um subespaço de V=R³.

Alguém poderia me ajudar?

Answer 1

Considere dois vetores:

u = (1, 2 ,3)
v = (2, 3, 4)

perceba quem ambos os vetores satisfazem a condição x ≤ y ≤ z, e portanto, pertencem ao subconjunto W.

Agora:.

u + v = (1,2,3) + (2,3,4) = (3,5,7)

perceba que o vetor (3,5,7) também satisfaz a condição x ≤ y ≤ z, e portanto, também pertence ao subconjunto W.

E também:

α = (alfa, um número real)

α(1,2,3) = (α1, α2, α3)

Perceba também que o vetor (α1, α2, α3) também satisfaz a condição x ≤ y ≤ z, e portanto pertence ao subconjunto W.

O que isso quer dizer?

Para haver um,subespaço:::

1) a soma de elementos do conjunto deve resultar em um que também pertença ao subconjunto. Lembra do  (3,5,7)? Esse vetor foi obtido somando outros dois; e mais, ele pertence ao subconjunto, pois satisfaz a condição dada.

2) a multiplicação de um vetor do subconjunto por um número real (α) também deve resultar um vetor que também pertença ao subconjunto. Lembra de  (α1, α2, α3)? Esse vetor foi obtido a partir da multiplicação de um vetor que pertence ao subconjunto por um número real (α). E mais, ele pertence ao conjunto pois satisfaz a condição dada.

Portanto, o subconjunto W forma um subespaço.

Álgebra linear só assusta, mas não é difícil não. :)