Question

Verifique se temos uma equação diferencial exata: (x³+3xy²)dx+(3x²y+y³)dy=0​

Answer 1

Resolução da questão, veja bem:

• A equação diferencial em questão realmente é exata!

Verificar se a seguinte equação é uma E.D. do tipo exata :

$\sf{(x^3+3xy^2)\;dx+(3x^2y+y^3)\;dy=0}$

Para resolvermos essa questão, teremos que verificar se a equação diferencial dada é exata. Para que uma equação diferencial seja exata, teremos que ter:

$\sf{\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}}$

Para especificar, é importante lembrarmos que M acompanha dx, enquanto que N acompanha dy. Calculemos as derivadas parciais de M e N:

• Derivada parcial de M em relação a y :

$\sf{\dfrac{\partial\;(x^3+3xy^2)}{\partial y}}\\ \\ \\ \sf{\dfrac{\partial}{\partial y}\;(x^3+3xy^2)=\dfrac{\partial}{\partial y}\;(x^3)+\dfrac{\partial}{\partial y}\;(3xy^2)}\\ \\ \\ \sf{\dfrac{\partial}{\partial y}=0+2\cdot 3xy}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\dfrac{\partial}{\partial y}=6xy}}}}~\checkmark~$

• Derivada parcial de N em relação a x :

$\sf{\dfrac{\partial\;(3x^2y+y^3)}{\partial x}}\\ \\ \\ \sf{\dfrac{\partial}{\partial x}\;(3x^2y+y^3)=\dfrac{\partial}{\partial x}\;(3x^2y)+\dfrac{\partial}{\partial x}\;(y^3)}\\ \\ \\ \sf{\dfrac{\partial}{\partial x}=2\cdot 3xy+0}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\dfrac{\partial}{\partial x}=6xy}}}}~\checkmark~$

Uma vez verificado que a derivada parcial de M em relação a y é igual a derivada parcial de N em relação a x, podemos concluir que a Equação Diferencial em questão é de fato do tipo exata!

Espero que te ajude!

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