Question

Verifique se os vetores $V_{1}=(1, \ 1, \ 2), \ V_{2} =(1, \ 0, \ 1) \ e \ V_{3}=(2, \ 1, \ 3)$ geram $R^{3}$

Answer 1

• Os vetores não geram em R³.

Prova:

Conceito:

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Supondo que temos um espaço vetorial E tal que E = n.

Quaisquer n vetores de E linearmente independentes formam uma base E.

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1. Seguindo:

$\Large {\text { \tt [A] = \{(x,y,z) \: \in \: \mathbb{R}^3\: ; \:x+y-z = 0 \} }}$

- Sendo A um subespaço.

2. O nosso foco agora é descobrir se (1,1,2),(1,0,1),(2,1,3) são L.I. Porque isso implica nele gerar em R³.

Tendo:

$\Large { \tt \alpha_1 (1,1,2) + \alpha _2 (1,0,1)+\alpha _3(2,2,3 ) =0 }$

$\Large { \tt \boxed {\Rightarrow \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3 = 0} }$

$\Large{ \tt \Leftrightarrow (\alpha_1, \alpha _1, 2\alpha_1) + (\alpha _2,0,\alpha_2) + (2\alpha_3 , \alpha_3, 3\alpha_3)}$

Acabando em:

$\Large {\text { \tt \left\{\begin{array}{ccc}\tt \alpha_1 +\alpha_2+2\alpha_3 = 0\\ \tt \alpha_1 +\alpha_3=0 \Leftrightarrow \\ \tt 2\alpha_1+\alpha_2+3\apha_3 = 0\end{array}\right }}$

            $\Large { \tt \boxed{ \\\alpha_1 = -\alpha_3}}$

Agora temos que substituir:

$\Large {\text { \tt \left\{\begin{array}{ccc}\tt -\alpha_3+\alpha_2+2\alpha_3 = 0\\ \tt -\alpha_3 +\alpha_3 = 0 \\ \tt -2\alpha_3 +\alpha_2 + 3\alpha_3 = 0\end{array}\right }}$

             $\Large { \boxed{ \tt \alpha_2 = - \alpha_3} }$

Sendo estes resultados linearmente dependentes, portanto não geram em R³.

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