Question

Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados. a) A(2, 3), B(-2, -5) e C(-1, -3)

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Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Para que os pontos estejam alinhados, o DETERMINANTE formado pelas abscissas e ordenadas dos pontos A, B e C deve resultar em 0, caso o resultado seja ≠ 0, não estão alinhados.

• Lembre-se:

D = 0 → Alinhado

D ≠ 0 → Não alinhado.

A estrutura desse DETERMINANTE que citei é:

$\large\begin{bmatrix}xa&ya& 1 \\ xb &yb&1 \\ xc&yc&1\end{bmatrix} = 0\tiny(3 \times 3)$

Vamos organizar os valores das abscissas e ordenadas do pontos para facilitar a substituição.

$\begin{cases}A(2, 3) \rightarrow xa = 2 \: \: \: \: ya = 3\\ B(-2, -5) \rightarrow xb = - 2 \: \: \: \: yb = - 5\\ C(-1, -3) \rightarrow xc = - 1 \: \: \: \: yc = - 3\end{cases}$

Substituindo e calculando através do método de Sarrus, onde repetimos as duas primeiras linhas:

$\begin{bmatrix}2&3& 1 \\ - 2 & - 5&1 \\ - 1& - 3&1\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}2&3 \\ - 2& - 5\\ - 1& - 3\end{bmatrix} = 0\\0 = 2.( - 5).1 + 3.1.( - 1) + 1.( - 2).( - 3) - ( (- 1).( - 5).1 + ( - 3).1.2 + 1. ( - 2).3) \\ 0 = - 10 - 3 + 6 - (5 - 6 - 6) \\ 0 = - 7 - ( - 7) \\ 0 = - 7 + 7 \\ \boxed{ 0 = 0}$

Como o resultado foi igual a 0, os pontos estão sim alinhados.

Resposta: sim.

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️

Answer 2

Os pontos A, B e C estão alinhados.

Matrizes

Para responder essa questão, devemos considerar que:

• as matrizes são dadas na ordem mxn (m linhas e n colunas);

• três pontos são colineares quando o determinante da matriz compostas por suas coordenadas é igual a zero.

A matriz em questão será:

$A=\left[\begin{array}{ccc}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{array}\right]$

Colocando as coordenadas dos pontos na matriz:

$A=\left[\begin{array}{ccc}2&3&1\\-2&-5&1\\-1&-3&1\end{array}\right]$

Calculando o determinante da matriz pela regra de Sarrus, temos que:

det(A) = 2·(-5)·1 + 3·1·(-1) + 1·(-2)·(-3) - (-1)·(-5)·1 - (-3)·1·2 - 1·(-2)·3

det(A) = -10 - 3 + 6 - 5 + 6 + 6

det(A) = 0

Portanto, os pontos estão alinhados.

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