Question

Verifique se os pontos A(-3,1), B(-3,2) e C(-3,-1) são colineares​

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar sobre determinantes de matrizes de ordem 3.

De acordo com a condição de alinhamento de três pontos, dados os pontos $(x_1,~y_1)$, $(x_2,~y_2)$ e $(x_3,~y_3)$, eles estão alinhados se, e somente se o determinante da matriz formada por estes pontos da seguinte forma for igual a zero:

$\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1\\\end{vmatrix}=0$

Então, substituindo as coordenadas dos pontos $A~(-3,~1)$, $B~(-3,~2)$ e $C~(-3,~-1)$, teremos:

$\begin{vmatrix}-3&1&1\\-3&2&1\\ -3&-1&1\\\end{vmatrix}=0$

Para calcularmos este determinante, utilizaremos a Regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcularmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$\left|\begin{matrix}-3&1&1\\-3&2&1\\ -3&-1&1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}-3&1\\-3&2\\ -3&-1\end{matrix}\right.=0$

Aplique a regra de Sarrus:

$(-3)\cdot2\cdot1+1\cdot1\cdot(-3)+1\cdot(-3)\cdot(-1)-(1\cdot(-3)\cdot1+(-3)\cdot1\cdot(-1)+1\cdot2\cdot(-3))=0$

Multiplique os valores

$-6-3+3-(-3+3-6)=0$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$-6-3+3+3-3+6=0$

Some os valores

$0=0$

Dessa forma, comprovamos que os três pontos estão alinhados.

Observe a imagem em anexo: Os pontos foram marcados no plano cartesiano e existe uma reta que contém os três pontos.