Question

Verifique se os pontos A (1, -1), B (3, 9) e P(0, 9) estão alinhados, ou seja, pertençam a mesma reta.

Answer 1

Tome 3 pontos distintos genéricos

$P_1 = (x_1,y_1), \:P_2=(x_2,y_2),\: P_3=(x_3,y_3)$

Temos de verificar se são colineares, ou seja, se os 3 pertencem a uma mesma reta. Verificar isso é a mesma coisa que, verificar os pares, se formam uma mesma reta, e podemos fazer isso de várias maneiras, como:

• Método 1: Verificar o coeficiente angular dos pares.

Se P₁, P₂ e P₃ pertencem a uma mesma reta, então o coeficiente linear, tomando 2 P quaisquer deve ser igual, ou seja:

$m = \dfrac{y_3-y_2}{x_3-x_2}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Perceba que, se essa igualdade é verificada, os 3 pontos devem pertencer a uma mesma reta, mesmo que não verifiquemos para 1 e 3.

• Método 2: Área nula

Um determinante pode nos dizer muita coisa, entre elas a área de um polígono dado n vértices, que pode ser calculado pelo seguinte determinante (falamos determinante, mas não é literalmente a mesma operação, já que somente matrizes quadradas admitem determinante):

$A = \dfrac{\left|\det\left(\begin{array}{ccc}y_1&...&y_n\\x_1&...&x_n\end{array}\right)\right|}{2}$

Para n = 3, a determinante se torna:

$A = \dfrac{\left|\det\left(\begin{array}{ccc}y_1&y_2&y_3\\x_1&x_2&x_3\end{array}\right)\right|}{2}$

Como os pontos devem ser colineares, então a área do polígono que é formado deve ser necessáriamente 0, portanto:

$\det\left(\begin{array}{ccc}y_1&y_2&y_3\\x_1&x_2&x_3\end{array}\right)=0$

Vamos aplicar os dois métodos ao nosso exercício:

Temos $P_1 = (1,-1), \:P_2=(3,9),\: P_3=(0,9)$

• Método 1:

Para que os 3 pontos sejam colineares a seguinte igualdade deve valer:

$\dfrac{y_3-y_2}{x_3-x_2}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Verifiquemos:

$\dfrac{9-9}{0-3}=\dfrac{9-(-1)}{3-1}$

$\dfrac{0}{-3}=\dfrac{10}{2}$

$0=5$

Absurdo! Assim, os 3 pontos não são colineares.

• Método 2:

Calculemos o determinante:

$\det\left(\begin{array}{ccc}-1&9&9\\1&3&0\end{array}\right)=-1*3+9*0+9*1-1*9-3*9-0*(-1)=-3+9-9-27 = -30$

Se o determinante não deu 0, portanto, o polígono que tem como vértices os pontos dados tem área, e portanto, os 3 pontos não são colineares