Question

Verifique se o subconjunto {(x,y,z,t) E R^4 / 2x + y − t = 0 e z = 0} é subespaço de R^4.

Answer 1

Resposta:

Como W satisfaz as 3 propriedades, então W é subespaço (vetorial)

Explicação passo-a-passo:

Subespaços vetoriais

Dado um espaço vetorial V, há subconjuntos de V tais que eles próprios também são espaços vetoriais, só que menores. Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V. Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não-vazio, será um subespaço vetorial de V se forem válidas as mesmas duas operações de antes:

Soma:, então ;

Produto por escalar: se α é escalar e ∈ V, então α ∈ V.

Se ambas as operações forem válidas em W, não é necessário verificar as oito propriedades dos vetores para dizer que W é espaço vetorial, pois elas já são válidas em V, que contém W.

Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (que são chamados triviais):

1. O conjunto formado somente pelo vetor nulo (a origem).

2. O próprio espaço vetorial: V é subconjunto de si mesmo.

Todo subespaço vetorial tem como elemento o vetor nulo, pois ele é necessário à condição de multiplicação por escalar: quando

Vejamos a questão

1 - Temos que W={(x,y,z,t) R^4 /2x+y-t=0 e z=0,

Como 2x+y-t=0 = 0 => Fazendo x = y, temos 2x + x - t = 0 => t = 3x (e) z = 0

Logo W é caracterizado por w = (x, x, 3x, 0)

Neste caso, temos que W tem dimensão igual a 1, pois é formado por 1 vetores LI (Linearmente Independentes) onde este vetor é x(1, 1, 3, 0).

Desta maneira, se x = 0, teremos w = (0, 0, 0, 0), logo o VAZIO de R^4 pertence a W.

2 - Seja a = (a1, a2, a3, a4) e b = (b1, b2, b3, b4) tal que a, b pertencem a W. Usando que w = (x, x, 3x, 0) temos

a + b = (a1, a1, 3a1, 0) + (b1, b1, 3b1, 0)

a + b = (a1 + b1, a1 + b1, 3(a1 + b1), 0)

Logo a + b pertence a W, pois pode ser escrito como (x, x, 3x, 0) para quaisquer vetores a e b.

3 - Seja k pertencente aos REAIS e w pertencente a W, então

kw = k. (x, x, 3x, 0) = (kx, kx, k3x, 0)

Logo o vetor kw pertence a W, pois pode ser escrito como (x, x, 3x, 0) para quaisquer valores de k e w.

Como W satisfaz as 3 propriedades, então W é subespaço (vetorial)