Question

verifique se o sistema linear homogêneo é determinado ou indeterminado

x+y+z=0
2x+2y+4z=0
x+y+3z=0

Answer 1

Um sistema homogêneo é determinado se possuir apenas uma solução e indeterminado se possuir infinitas. 

O par (0,0,0), ou seja, x = 0, y = 0 e z = 0 é solução do sistema. 

Se o par (0,0,0) for a única solução então o sistema é determinado. Se tiver outras, é indeterminado:

Podemos observar que se um sistema tem o mesmo número de equações e de incógnitas e se o determinante da matriz incompleta for diferente de zero o sistema é normal. 

A regra de Cramer afirma ainda que todo sistema normal tem uma única solução dada por:  

$x_{i}= \frac{ D_{xi} }{D}$

Onde D é o determinante da matriz incompleta, e Dxi é determinante  obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

matriz completa:

$A = \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&2&4\\1&1&3\end{array}\right] \\ \\ Det(A)= 1 . (2) - 1 . (2) + 1 .(0) = 2 -2+0 = 0$

Como o determinante da Matriz A é zero, o sistema possui infinitas soluções, sendo, assim, indeterminado (possui infinitas soluções)