Question

Verifique se o escalar 5 é um autovalor para a matriz A = [5 0] e determine os autovetores associados a esse autovalor [2 1] .
obs; matriz tipo 2x2 ( no qual 5 e 0 acima e 2 e 1 embaixo, nao consegui colocar nesse formato.

Answer 1

Utilizando equaçãoes de autovalor e autovetor, temos que autovetor em si é a combinação do vetor número (2,1).

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte matriz:

$A=\left[\begin{array}{cc}5&0\\2&1\end{array}\right]$

Para verificarmos se 5 é autovalor desta matriz, basta subtrairmos 5 da diagonal principal da matriz e vermos se o determinante dela vai ser 0, se for, então é autovalor:

$A=\left[\begin{array}{cc}5-5&0\\2&1-5\end{array}\right]$

$A=\left[\begin{array}{cc}0&0\\2&-4\end{array}\right]$

$det(A)=0.(-4)-0.2=0$

Assim temos que esta matriz ficou com determinante 0, logo, 5 é de fato autovalor.

Agora para encontrarmos o seu autovetor, basta multiplicarmos um vetor arbitrario (a,b) pela matriz e igualarmos a este mesmo vetor multiplicado pelo autovalor 5:

$\left[\begin{array}{cc}5&0\\2&1\end{array}\right].\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]=5.\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]$

Separando as linhas em equações ficamos com:

$5.a=5.a$

$2a+b=5b$

Assim pela primeira equação vemos que "a" é arbitrário, então definindo a partir de b:

$2a+b=5b$

$2a=4b$

$a=2b$

Então agora sabemos que a = 2b, então podemos reescrever este vetor:

$v=\left[\begin{array}{c}2b\\b\end{array}\right]$

Colocando b em evidência:

$v=b.\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]$

Como b é qualquer valor arbitrário, então o autovetor em si é a combinação do vetor número (2,1).