Question

Verifique se f:r r, defirna por f(x)=3x+2, é injetora

Answer 1

Verificar se $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ definida por

$f(x)=3x+2$

é injetora.


$\bullet~~$ Sejam $x_1,\,x_2\in\mathbb{R},$ tais que $x_1\ne x_2.$ Sendo assim, temos que

$f(x_1)=3x_1+2\\\\ f(x_2)=3x_2+2$


Portanto,

$f(x_1)-f(x_2)=(3x_1+2)-(3x_2+2)\\\\ =3x_1+2-3x_2-2\\\\ =3x_1-3x_2\\\\ =3(x_1-x_2)\\\\\\ \therefore~~f(x_1)-f(x_2)=3(x_1-x_2)~~~~~~\mathbf{(i)}$


Como supusemos inicialmente $x_1 \ne x_2,$ segue que $x_1-x_2 \ne 0.$ Portanto, pela igualdade $\mathbf{(i)}$ acima, concluímos que

$3(x_1-x_2) \ne 0~~\Rightarrow\\\\ f(x_2)-f(x_1)\ne 0\\\\ f(x_1)\ne f(x_2)$


Assim, para quaisquer $x_1,\,x_2\in\mathbb{R},$ provamos que

$\text{Se }x_1\ne x_2\text{, ent\~ao }f(x_1)\ne f(x_2).$


Logo, $f$ é injetora, como queríamos demonstrar.