Question

Verifique se existe um valor real L para que L seja continua em x = -2. Justifique

Answer 1

a)

Como os limites laterais não convergem, não é possível encontrar um valor L que faça a função ser contínua em x = -2.

b)

Como a função não é contínua em x = -2, f não é derivável neste ponto.

Para verificar a continuidade de uma função no ponto precisamos analisar os limites laterais naquele ponto, se os limites laterais convergirem então a função é contínua no ponto, i.e.

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\lim_{x \to p^-} f(x) = \lim_{x \to p^+} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{x \to p} f(x) = L\end{gathered}$

Logo a função é continua no ponto (p, f(p)).

Portanto vamos analisar os limites laterais da função f, queremos verificar se é possível escolher um valor de L tal que a função f passe a ser contínua em x = -2, logo vamos fazer o limite a esquerda de direita de -2.

Começando pelo limite a esquerda de -2.

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x - 2= -4\end{gathered}$

Veja que precisamos escolher a definição da função como se x < -2 já que x se aproxima de -2 por valores a direita de -2, ou seja, valores como -2,1, -2,01... etc...

Agora para o limite a direita de -2

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} x^2 -4 = 0\end{gathered}$

Notamos então que

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\lim_{x \to -2^-} f(x) \ne \lim_{x \to -2^+} f(x)\end{gathered}$

Como os limites laterais não convergem, não é possível encontrar um valor L que faça a função ser contínua em x = -2, a imagem em anexo mostra o "salto" da função.

Isso já implica que a função não é derivável em x = -2 pois uma das condições necessárias para derivação é que a função seja contínua no ponto em que se deseja derivar.

Espero ter ajudado

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