Matemática, perguntado por jogaojogando, 4 meses atrás

Verifique se as retas : (,,) = (1,1,1) + (2,1,−3) e : (,,) = (0,1,0) + (−1,2,0)
são ortogonais.

Soluções para a tarefa

Respondido por rebecaestivaletesanc

Resposta:

Explicação passo a passo:

(2,1,−3) . (−1,2,0) = -2+2+0 = 0. Como o produto escalar deu zero, então são ortogonais.

Respondido por solkarped

✅ Após desenvolver todos os cálculos a partir das equações vetoriais das referidas retas, concluímos que o as respectivas retas, de fato são:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Ortogonais\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam as equações vetoriais das retas:

$\Large\begin{cases}r: (x, y, z) = (1, 1, 1) + \lambda(2, 1, -3)\\ s: (x, y, z) = (0, 1, 0) + \gamma(-1, 2, 0)\end{cases}$

Dizemos que...

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}r\perp s \end{gathered}$}$

...se, e somente se, o produto escalar entre os vetores diretores das retas for igual a "0", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{v}_{r}\cdot\vec{v}_{s} = 0 \end{gathered}$}$

Recuperando os vetores diretores das retas temos:

$\Large\begin{cases}\vec{v}_{r} = (2, 1, -3)\\ \vec{v}_{s} = (-1, 2, 0)\end{cases}$

Calculando o produto escalar dos vetores diretores, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{v}_{r}\cdot\vec{v}_{s} = (2, 1, -3)\cdot(-1, 2, 0) \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 2\cdot(-1) + 1\cdot2 + (-3)\cdot0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = -2 + 2\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 0\end{gathered}$}$

Portanto:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{v}_{r}\cdot\vec{v}_{s} = 0 \end{gathered}$}$

✅ Logo, a retas são ortogonais.

OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:

Dizemos que duas retas são perpendiculares quando elas são coplanares e se interceptam em um ponto comum - ponto de intersecção - formando um ângulo reto - ângulo de 90°.
Dizemos que duas retas são ortogonais quando seus vetores diretores forem ortogonais.
Duas retas ortogonais podem ou não possuir ponto de interseção comum.
Quando duas retas ortogonais se interceptam em um ponto comum, dizemos também, que elas são coplanares.
Quando duas retas ortogonais não se interceptam em um ponto comum, dizemos também, que elas são reversas. Neste caso, não existe plano que as contenham, simultaneamente.