Question

Verifique se as matrizes abaixo são inversíveis. Caso afirmativo, calcule suas inversas.

Answer 1

Para uma matriz ser inversível, além de ser quadrada, o seu determinante deve ser diferente de 0.

As duas matrizes são quadradas.
Agora, precisamos calcular o determinante de cada uma.

det A = 5·6 - 8·3
det A = 30 - 24
det A = 6

A inversa de A = A⁻¹
$A^{-1}= \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right] \\ I_{n} =\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right] \\ \\ \\ A. A^{-1} = I_{n} \\ \left[\begin{array}{ccc}5&3\\8&6\\\end{array}\right]. \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right] \\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}5a+3c&5b+3d\\8a+6c&8b+6d\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

Agora, obtemos quatro igualdades. Veja:
I) {5a + 3c = 1             II) {5b + 3d = 0
   {8a + 6c = 0                 {8b + 6d = 1

I) {5a + 3c = 1 --- ×(-2)
   {8a + 6c = 0

   {-10a - 6c = -2
   {  8a + 6c = 0  + 
     - 2a = - 2  ⇒ a = 1

Substituímos o valor de a, para encontrar c.
5a + 3c = 1
5(1) + 3c = 1
5 + 3c = 1 
3c = 1 - 5
  c = - 4
          3

II) {5b + 3d = 0 --- ×(-2)
    {8b + 6d = 1
 
    {-10b - 6d = 0
    {  8b + 6d = 1 + 
      - 2b = 1 ⇒ b = - 1
                                2

Substituímos o valor de b, para encontrar d.
5b + 3d = 0
5(-1) + 3d = 0
    2
- 5 = - 3d
  2
-5 = - 6d
d = 5
      6

Pronto, agora podemos formar a inversa de A.
$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}1& \frac{-1}{2} \\ \\ \frac{-4}{3} & \frac{5}{6} \\\end{array}\right]$


Tome isso como exemplo fazer os cálculos da matriz B. Boa sorte!