Verifique se as funções possuem pontos extremos globais em seguida, verifique se tem pontos extremos locais e, se tiver, qual o ponto máximo e o mínimo local.
f(x) = x^3+2x^2+10
f(x)= x^4+3x^3+x^2+3
Soluções para a tarefa
a) f(x) = x³ + 2x² + 10
Realizamos a primeira derivada e a segunda derivada da função f = f(x).
f'(x) = 3x² + 4x
f''(x) = 6x + 4
Resolvemos a equação f'(x) = 0 para obtermos os pontos críticos de f = f(x).
0 = 3x² + 4x
3x² + 4x = 0
x·(3x + 4) = 0 ⇒ x₁ = 0 e x₂ = -4/3
Os dois pontos críticos são: x₁ = 0 e x₂ = -4/3.
Aplicamos f'' nestes pontos x₁ e x₂.
f''(0) = 6·0 + 4
f''(0) = 0 + 4
f''(0) = 4 > 0
f''(-4/3) = 6·(-4/3) + 4
f''(-4/3) = - 8 + 4
f''(-4/3) = - 4 < 0
Pelos sinais de f'' nos pontos críticos, temos que x₁ = 4 é um ponto de mínimo e x₂ = - 4 é ponto de máximo para f = f(x).
b) f(x) = x⁴ + 3x³ + x² + 3
Realizamos a primeira derivada e a segunda derivada da função f = f(x).
f'(x) = 4x³ + 9x² + 2x
f''(x) = 12x² + 18x + 2
Resolvemos a equação f'(x) = 0 para obtermos os pontos críticos de f = f(x).
0 = 4x³ + 9x² + 2x
0 = x·(4x² + 9x + 2)
Então, x₁ = 0 ou...
4x² + 9x + 2 = 0
Resolvendo a equação do 2° grau, temos:
x₂ = - 1/4 e x₃ = - 2
Assim, os três pontos críticos são: x₁ = 0, x₂ = -1/4 e x₃ = - 2.
Agora, aplicamos f'' nestes pontos x₁, x₂ e x₃.
f''(0) = 12(0)² + 18(0) + 2
f''(0) = 2 > 0
f''(-1/4) = 12(-1/4)² + 18(-1/4) + 2
f''(-1/4) = 12(1/16) - 18/4 + 2
f''(-1/4) = 12/16 - 18/4 + 2
f''(-1/4) = 3/4 - 18/4 + 2
f''(-1/4) = - 15/4 + 2
f''(-1/4) = - 7/4 < 0
f''(-2) = 12(-2)² + 18(-2) + 2
f''(-2) = 12(4) - 36 + 2
f''(-2) = 48 - 36 + 2
f''(-2) = 14 > 0
Pelos sinais de f'' nos pontos críticos, temos que x₁ = 2 e x₃ = 14 são pontos de mínimo e x₂ = - 7/4 é ponto de máximo para f = f(x).