Question

verifique se a função f(x,y)=lnraiz x²+y² e solução da equação de laplace

Answer 1

Como foi proposta uma função $f$ em duas dimensões, vamos considerar que estamos tratando da Equação de Laplace no $\mathbb{R}^2$, qual seja:

$\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}[u(x,y)]+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2} [u(x,y)]=0~~~(i)$

Assim, vamos calcular a expressão E a seguir e verificar se ela é nula:

$E=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}[f(x,y)]+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}[f(x,y)]\\\\ E=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}[\ln(\sqrt{x^2+y^2})]+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}[\ln(\sqrt{x^2+y^2})]\\\\ E=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial}{\partial x}(\ln\sqrt{x^2+y^2})\right)+\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial}{\partial y}(\ln\sqrt{x^2+y^2})\right)$

$E=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot (x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot2x\right)+...\\ ~\hspace{3.0cm}...+\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot (x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot2y\right)\\\\ E=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{x}{x^2+y^2}\right)+\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{y}{x^2+y^2}\right)$

$E=\left(\dfrac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2}\right)+\left(\dfrac{(x^2+y^2)-2y^2}{(x^2+y^2)^2}\right)\\\\ E=\dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}+\dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\\\\ E=0$

Como a equação (i) é verdadeira para $u(x,y)=f(x,y)$, a função dada é solução da Equação de Laplace.