Question

Verifique se a função F: M2 -> R é uma transformação linear.

Questão anexada para melhor visualização.

Answer 1

A função F:M2 -> R não é uma transformação linear.

Uma função é uma transformação linear quando satisfaz as duas condições básicas:

F(u + v) = F(u) + F(v)

,e:

F(au) = aF(u)

, sendo a uma constante real.

No nosso caso, a função F possui como argumentos matrizes de ordem 2x2. Portanto, u e v serão matrizes 2x2 e a uma constante real. Vamos aplicar cada uma das condições e vermos se F é transformação linear ou não:

$F(u + v) = F(\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}e&f\\g&h\end{array}\right]) = F(\left[\begin{array}{cc}a+ e&b + f\\c + g&d + h\end{array}\right]) = det(\left[\begin{array}{cc}a+ e&b + f\\c + g&d + h\end{array}\right]) = (a + e)(d + h) - (b + f)(c + g) = ad + ah + ed + eh - bc - bg - cf - gf$

Agora vamos calcular separadamente F(u) e F(v):

$F(u) = det(\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]) = ad - bc$

E ainda:

$F(v) = det(\left[\begin{array}{cc}e&f\\g&h\end{array}\right]) = eh - fg$

Agora vamos ver se a relação é válida:

F(u + v) = F(u) + F(v)

ad + ah + ed + eh - bc - bg - cf - gf = ad + eh - bc - fg

Claramente não são iguais, portanto F não é uma transformação linear.

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