Question

verifique se a função dada é uma soluço para a equação diferencial (c1 e c2 são constantes)
y = 2xy' + y (y')^2 ; y^2 = c1 (x + 1/4 c1)

Answer 1

= −3x 2 + y2 2xy . Então, para x3 + y2x = 1 ser uma solução da EDO dada, teria de verificar-se −x 2 + y2 2xy = −3x 2 + y2 2xy para todo (x, y) pertencente a algum conjunto aberto de R2. Ora, a igualdade acima só é válida para x = 0, lugar geométrico dos pontos situados no eixo dos yy (que não é um conjnto aberto de R2), concluindo-se assim que a resposta é negativa. Problema Mostrar que a relação xy2 + y = 1 verifica formalmente a seguinte equação diferencial recorrendo: (i) à derivada da função composta; e (ii) à derivada total da função implícita. dy dx = − y 2 2xy + 1 . Considere-se agora a equação diferencial de primeira ordem dy dx = 2x. (1.19) É simples verificar que função f0(x) = x2 é uma solução explícita desta equação diferencial para todo x real. São também soluções da equação diferencial (1.19), por exemplo, as funções f1(x) = x 2 + 1, f2(x) = x 2 + 2, f3(x) = x 2 + 3, f√7(x) = x 2 + √ 7. De facto, para cada número real c, a função fc definida para todo x real por fc(x) = x 2 + c (1.20) é uma solução da equação diferencial (1.19). Ou seja, a expressão (1.20) define uma família (infinita) de funções, uma para cada valor da constante real c, e toda a função desta família é uma solução de (1.19). A constante c designa-se constante arbitrária. A família de soluções assim definida escreve-se y = x2 + c. (1.21) Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro – 2013 Universidade de Minho 16 1. Introdução às equações diferenciais 210-1-2 6 4 2 0 -2 -4 x y x y Representação gráfica da família de parábolas y = x2 + c; cada parábola é uma curva integral da equação diferencial (1.19) Embora seja evidente que toda a função pertencente à família de soluções definida por (1.21) é uma solução de (1.19), tal não permite concluir que a família de soluções (1.21) contém todas as soluções de (1.19). Assim, podem, em princípio, existir outras funções que também sejam solução de (1.19), pelo que de momento não designaremos o conjunto (infinito) de soluções (1.21) como a “solução geral” da equação diferencial, mas apenas como “uma família de soluções” dessa equação. Voltaremos a este ponto mais adiante. Considere-se de novo a equação diferencial de primeira ordem (1.19). Esta equação diferencial pode ser interpretada como definindo o declive, 2x, da reta tangente ao gráfico da curva y = y(x) no ponto de coordenadas (x, y) para todo o x real. Esta equação diferencial admite uma família de soluções da forma y = x2 + c, (1.22) onde c é uma constante real arbitrária. A família de funções (1.22) corresponde geometricamente a uma família de parábolas. Para cada uma delas, o declive da reta tangente ao gráfico da parábola no ponto de coordenadas (x, y) obedece a (1.19). Estas parábolas designam-se curvas integrais da equação diferencial (1.19). Problema Determinar curvas integrais da equação diferencial dy/dx = cosx. Resp.: y = senx+ k1, k1 ∈ R. Problema Determinar curvas integrais da equação diferencial dy/dx = senh2x. Resp.: y = 12 cosh 2x+ k2, k2 ∈ R. Exercícios sobre soluções de equações diferenciais Exercício 1.2 Mostrar que a função f(x) = x+ 2e−x é uma solução da equação diferencial dy dx + y = x+ 1. Departamento de Matemática e Aplicações J. Figueiredo, C. Ribeiro – 2013 Universidade de Minho 1.2 Soluções de equações diferenciais 17 Exercício 1.3 Mostrar que toda a função f pertencente à família de funções fc(x) = 2 + ce −2x2 , onde c é uma constante arbitrária, é uma solução da equação diferencial de primeira ordem dy dx + 4xy = 8x. Exercício 1.4 Mostrar que toda a função g definida por g(x) = c1e 4x + c2e −2x, onde c1 e c2 são constantes arbitrárias, é uma solução da equação diferencial de segunda ordem d2y dx2 − 2dy dx − 8y = 0. Exercício 1.5 Determinar todos os valores da constante real m para os quais a função f(x) = emx é solução da equação diferencial d3y dx3 − 3d 2y dx2 − 4dy dx + 12y = 0.erificar formalmente. Departamento de Matemática e Aplicações J.