verifique se a equação x²+y²+2x+2y-2 = 0 representa uma circunferência em caso afirmativo dê as coordenadas do centro e o raio da circunferência
Soluções para a tarefa
Onde (a, b) representa o centro, e r o raio. Então vamos ver se conseguimos escrever a equação dada no enunciado, como esta acima:
x² + y² + 2x + 2y - 2 = 0
x² + 2x + y² + 2y -2 = 0
Vamos "Completar quadrados"
Quero que x² + 2x se torne algo do tipo (x + a)² para isso, falta um termo em x² + 2x. Para determinar, podemos comparar da seguinte forma:
x² + 2x + a² = x² + 2xa + a² = (x + a)² comparando os termos:
2x = 2xa => a = 1 portanto teremos
x² + 2x + a² = x² + 2x + 1 = (x + 1)²
O mesmo serve para y² + 2y
Então, temos: (voltando ao cálculo)
x² + y² + 2x + 2y - 2 = 0
x² + 2x + y² + 2y -2 = 0
x² + 2x + (1) + y² + 2y + (1) -2 = 1 + 1
(como "adicionamos" dois números 1 no primeiro membro, temos que adicionar também no segundo para manter a igualdade)
(x + 1)² + (y + 1)² -2 = 2
(x + 1)² + (y + 1)² = 2 + 2
(x + 1)² + (y + 1)² = 4
(x + 1)² + (y + 1)² = 2²
Portanto, podemos ver que é sim uma equação de uma circunferência onde
centro = (-1, -1)
Raio = 2
A equação x² + y² + 2x + 2y - 2 = 0 representa uma circunferência de centro (-1,-1) e raio 2.
A equação reduzida da circunferência é da forma (x - x₀)² + (y - y₀)² = r², sendo C = (x₀,y₀) o centro da circunferência e r a medida do raio.
Para sabermos se a equação x² + y² + 2x + 2y - 2 = 0 representa uma circunferência ou não, precisamos escrevê-la na forma reduzida.
A equação será de uma circunferência se r² > 0. Caso r² = 0, teremos um ponto e caso r² < 0, teremos um conjunto vazio.
Para isso, precisamos completar quadrado. Dito isso, obtemos:
x² + 2x + 1 + y² + 2y + 1 = 2 + 1 + 1
(x + 1)² + (y + 1)² = 4.
Note que 4 > 0. Sendo assim, podemos afirmar que a equação é de uma circunferência. O seu centro é o ponto C = (-1,-1) e a medida do seu raio é igual a r = 2.
Exercício sobre circunferência: https://brainly.com.br/tarefa/19767193
