Question

Verifique qual o posicionamento entre as retas r e s: Conforme a foto

Answer 1

Resposta:

Equação vetorial da reta... pouco usual por aqui....rs

a)São reversas (oblíquas)

b)São paralelas

c) São concorrentes

d)São reversas (oblíquas)

Explicação passo-a-passo:

a) Equação vetorial da reta... pouco usual por aqui....rs

Note que as retas não têm direções de vetores que são paralelos

Se (-2,2,4)=α.(1,-1,2), então, para as duas primeiras coordenadas teríamos o α = - 2 e, para a última, α = 2. Alfa não pode assumir dois valores ao mesmo tempo.( 2 e -2)

Portanto, elas não são paralelas.

Daí, surge a questão: Será que essas retas são coplanares?

Se elas forem coplanares, terão um ponto em comum.

Investiguemos este fato.

(0+λ,2-λ,-2+2λ)=(3-2∝,1+2∝,2+4∝)

Dos sistema de equações lineares...

λ = 3-2∝ (vamos usar essa igualdade daqui a pouco)

2-λ=1+2∝

-2+2λ=2+4∝

Trocando, na segunda equação, λ por 3-2∝:

2-(3-2∝)=1+2∝

-1+2∝=1+2∝

1 = - 1 Isso é impossível.

Logo, essas retas não estão no mesmo plano.

Portanto, são reversas.

Ainda,  o produto escalar dos vetores diretores delas é:

(-2,2,4).(1,-1,2)=-2-2+8=4≠0.

Logo, não são ortogonais estas retas. São oblíquas.

b) Os vetores diretores de r e s são: (-1,2,1) e (-1/2,1,1/2)

Note que (-1,2,1) = 2. (-1/2,1,1/2)

Portanto, as retas são paralelas.

c) Os vetores diretores de r e s são: (-2,1,-10) e (5,-3,0)

Note que esses vetores não são paralelos pois,

Se (-2,1,-10) =α.(5,-3,0), pela última coordenada, -10=α.0=0

Como -10≠0, os vetores não são paralelos.

Verificando se as retas são coplanares...

3-2λ=3+5∝

1+λ=1-3∝

7-10λ=7

Pela última equação: λ=0

Substituindo λ por 0 na segunda equação, α = 0

Substituindo λ por 0 e α por 0 na primeira equação:

3=3 e, com isso, essas retas são coplanares e, portanto, são concorrentes.

Obs: O produto escalar dos vetores diretores não é zero

(-2,1,-10).(5,-3,0)=-13. Logo, não são perpendiculares.

d)

A equação da segunda reta pode ser transformada para:

x=α

y=2α

z=α

Os vetores diretores dessas duas retas são:

(2,1,1) e (1,2,1) que não são paralelos.

Se (2,1,1) =β(1,2,1), então β=2 pela primeira coordenada e β=1 pela última coordenada.

Logo, as retas não são paralelas.

Vejamos se são coplanares:

-1+2λ=∝

λ=2∝

-1+λ=∝ (vamos usar essa primeiro)

substituindo ∝ por -1+λ na segunda equação temos:

λ=2∝

λ=2(-1+λ)=-2+2λ

λ=2 e, com isso, usando esse fato em λ=2∝ obtemos ∝=1

Trocando o ∝ por 1 e o λ por 2 na primeira equação teremos:

-1+2λ=∝

-1+2.2=1

3=1.. Outra contradição.

Logo, essas retas não são coplanares. Serão reversas.

E, como o produto escalar dos vetores diretores é  (2,1,1).(1,2,1)=5≠0, elas serão oblíquas.

Vai ai um presente...rs

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