Question

verifique qual é a posição da reta
t: 3x + 4y + 6 = 0, em relação a circunferência (x-4)2 + (y - 3)2 = 36

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Iza, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para verificar qual é a posição da reta "t" de equação: 3x + 4y + 6 = 0, em relação à circunferência de equação: (x-4)² + (y-3)² = 36.

ii) Antes de iniciar, veja que uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r, tem a sua equação reduzida encontrada da seguinte forma:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²        . (I)

Agora veja que a equação reduzida da circunferência da sua questão é esta:

(x-4)² + (y-3)² = 36 ---- note que 36 é a mesma coisa que 6². Assim:

(x-4)² + (y-3)² = 6² .

Agora veja: se você comparar a equação da circunferência da sua questão com a equação reduzida que deixamos lá na expressão (I), você vai notar, dessa comparação, que a circunferência da sua questão tem centro e raio:

Centro: C(4; 3); e raio: r = 6 <--- Este é o centro e o raio, respectivamente, da circunferência da sua questão.

iii) Agora vamos fazer o seguinte: encontraremos a distância do centro da circunferência da sua questão [C(4; 3)] à reta "t" [3x + 4y + 6 = 0], cuja fórmula é esta:

d = |Ax₀ + By₀ + C]|/√(A²+B²)

Na fórmula acima, "d" é a distância que queremos encontrar do centro da circunferência à reta "t"; por sua vez "A", "B" e "C" são os coeficientes da reta "t" [3x + 4y + 6 = 0]; e "x₀" e "y₀" são as coordenadas (4; 3) do centro, respectivamente. Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

d = |3*4 + 4*3 + 6|/√(3²+4²) ----- desenvolvendo, teremos:

d = |12 + 12 + 6| / √(9+16) ---- continuando o desenvolvimento:

d = |30| / √(25) ----- agora veja: como |30| = 30 e como √(25) = 5, teremos:

d = 30 / 5 ----- como "30/5 = 6", teremos:

d = 6 <---- esta é a distância do centro da circunferência à reta "t".

iv) Agora veja isto e não esqueça mais:

iv.1) Se a distância (d) do centro da circunferência à reta dada for menor que o raio da circunferência, então a reta seria secante à essa circunferência, ou seja, ela passaria por dentro da circunferência/

iv.2) Se a distância (d) do centro da circunferência à reta dada for igual ao raio da circunferência, então a reta seria tangente à circunferência.

iv.3) Se a distância (d) do centro da circunferência à reta dada for maior que o raio da circunferência, então a reta estaria fora da circunferência.

v) No caso específico da sua questão, vemos que a distância "d" é exatamente igual ao raio da circunferência (ambos medem 6 u.m. ou 6 unidades de medida). Isso significa que a reta "t" é:

tangente à circunferência <--- Esta é a resposta.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.