Question

Verifique quais dos conjuntos são espaços vetoriais reais com as respectivas operações definidas.
Para os que são, mostre todos os axiomas exigidos, e para aqueles que não são, cite os axiomas
que não se verificam.

(a) V = {(x, 2x, 3x), x ∈ R}, com as operações de soma e multiplicação usuais.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

As operações usais são

u=(a,b,c) e v=(x,y,z)

u+v=(a+x,b+y,c+z)

e k um escalar

k*u =(k*a,k*b,k*c)

Agora vamos verificar se os vetores da forma (x,2x,3x) formam um espaço vetorial.

Devem seguir os 8 axiomas

Axiomas da soma

1) associatividade (lembre que soma de vetores é entrada a entrada)

(u+v)+w= u+(v+w)

u=(a,2a,3a) e v= (x,2x,3x) e w=(f,2f,3f)

(u+v)+w= (a+x,2a+2a,3a+3x)+(f,2f,3f) = (a+x+f,2a+2x+2f,3a+3x+2f) = (a+(x+f),2a+(2x+2f),3a+(3a+3f)) = (a,2a,3a)= (x+f,2x+2f,3x+3f)= u+(v+w) associatividade ok

2) comutatividade u+v=v+u

(a,2a,3a)+(x,2x,3x)= (a+x,2a+2x,3a+2x)= (x+a,2x2a,3x+3a)=  (x,2x,3x)+(a,2a,3a)= v+u ok

3) Existência do Neutro

0+v=v

0+(a,2a+3a) = (a,2a,3a)  ok

4) Existência do oposto

u+(-u)=0

(a,2a,3a)+(-a,-2a-3a)= (a-a,2a-2a,3a-3a)= (0,0,0) =0 ok

Axiomas da multiplicação

5) Dados dois escalares reais t,p

(t*p)*u= t(p*)

(t*p)*(a,2a,3a)= (t*p*a,t*p*2a,t*p*3a) =  t(p*a,p*2a,p*3a)= t*(p*u) ok

6) distributiva do vetor

(t+p)u= t*u+p*u

(t+p)*(a,2a,3a) = ((t+p)a,(t+p)*2a,(t+p)*3a)= (t*a+t*p,t*2a+p*2a,t*3a+p*3a)= (t*a,t*2a,t*3a)+ (p*a,p*2a,p*3a) = t(a,2a,3a)+p(a,2a,3a)=  t*u+p*u ok

7) distributiva de escalares

p*(u+v)= p*u+p*v

p*((a+x,2a+2x,3a+3x))= (p(a+x),p(2a+2x),p(3a+3x))= (p*a+p*x,p*2a+p*2x,p*3a+p*3x) = (p*a,p*2a,p*3a)+(p*x,p*2x,p*3x)= p*(a,2a,3a)+p(x,2a,3x) = p*u+p*v

8) Existência do Neutro

1*u= u

1(a,2a,3a)= (1*a,1*2a,1*3a) = (a,2a,3a)= u

Como os 8 axiomas estão conferidos e funcionam, então V={(x,2x,3x)/xeR} é um espaço vetorial.

Ps.: Eu usei vetores como (a,2a,3a) e (x,2x,3x), mas se você preferir usei$(x_1,2x_1,3x_1) \ e \ (x_2,2x_2,3x_2)$. Não usei essa notação para ganhar tempo digitando. Espero ter ajudado!