Question

Verifique o posicionamento da reta r, dada pela equação 2x + y - 1 = 0
circunferência de equação x2 + y2 + 6x -8y = 0.​

Answer 1

A reta r é secante à circunferência.

Trata-se de um problema de posição relativa entre reta e circunferência.

Primeiro, é necessário obter a equação reduzida da circunferência dada.

A equação reduzida de uma circunferência de raio $R$ e centro $C = (x_{C},y_{C})$ é igual a:

$(x-x_{C} )^{2}+(y-y_{C}) ^{2} =R^{2}$

Desejamos fazer o mesmo com a circunferência dada, para isso é fundamental completar quadrados:

$x^{2} +6x+y^{2} -8y=0\\(x^{2} +2.3x+3^{2})+(y^{2}-2.4y+4^{2}) =3^{2}+4^{2}$

Utilizando produtos notáveis, é possível obter dois quadrados da soma:$(x^{2} +2.3x+3^{2}) = (x+3)^{2}\\(y^{2}-2.4x+4^{2}) = (y-4)^{2}$

Retornando à equação da circunferência:

$(x+3)^{2}+(y-4)^{2}=25=5^{2}$

É possível assim determinar as coordenadas do centro da circunferência:

$-x_{C}=3$ ⇔ $x_{C} = -3$

$-y_{C}= -4$ ⇔$y_{C} =4$

Além do raio:

$R^{2} =5^{2}$ ⇔ $R = 5$

Por último, calculamos a distância do centro da circunferência até a reta $r$:$d_{C,r}$. Temos 3 casos possíveis:

• $d_{C,r}< R$ : A reta é secante à circunferência.
• $d_{C,r} = R$ : A reta é tangente à circunferência.
• $d_{C,r} > R$ : A reta é exterior à circunferência.

A distância de um ponto $C$ à reta é dada por:

$d_{C,r}= |\frac{ax_{C} +by_{C}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2} } } |$

$a = 2; b = 1; c = -1; x_{C}= -3;y_{C}=4$.

Substituindo os valores, temos:

$d_{C,r}=|\frac{2.3+1.(-4)+(-1)}{\sqrt{2^{2}+1^{2} } }|=|-\frac{3}{\sqrt{5} } |=\frac{3\sqrt{5} }{5}$ ≅ 1,34.

Note que 1,34 é menor que o raio $R$, logo $r$ é secante à circunferência.

Quaisquer dúvidas, deixe-as nos comentários.

Bons estudos.