Question

Verifique a seguinte fórmula de redução:

$\displaystyle \int \sec^n(u)\, du=\frac{\sec^{n-2}(u)\tan(u)}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}(u)\, du, \; n\neq 1$​

$\bold{Obs}:$ Apresente o cálculo com explicação.

Answer 1

Temos a seguinte fórmula:

$\sf\int \sec^n(u)\, du=\frac{\sec^{n-2}(u)\tan(u)}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}(u)\, du, \; n\neq 1$

Para fazer a verificação dessa função, vamos iniciar por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \int \sec {}^{n} (u)du$

Primeiramente vamos supor que esse "n" seja ímpar, pois assim vamos usar o método da integração por partes logo de cara. Caso essa função fosse y = sec³(x), certamente faríamos:

$\sf \int \sec {}^{3} (x) = \sec {}^{2} (x). \sec(x)$

Utilizando essa mesma ideia no nosso caso:

$\sf \int \sec {}^{n}(u) = \sf \sec {}^{n - 1}(u). \sec {}^{} (u)$

Mas, observe que nesse caso, não chegaríamos a obter uma expressão parecida com a que a questão fornece, uma vez que no método da integração por partes, devemos escolher uma função para ser derivada e outra pra ser integrada. Supondo que a função escolhida pra integração fosse sec^(n)(u), então:

$\sf \int \sec {}^{n} (u) = \ln( | \sec {}^{n} (u) + \tan {}^{n} (u)| )$

Caso a função escolhida fosse sec^(n-1)(u), então:

$\sf \int \sec {}^{n - 1} (u) \: du \: \to \: nada \: se \: pode \: concluir$

Portanto, vamos manipular essa expressão, dizendo que na realidade é:

$\sf \int \sec {}^{n}(u) = \sec {}^{n - 2} (u). \sec {}^{2} (u)$

Agora sim, pois a integral de sec²(u) é conhecida. Para a função que deve ser derivada digamos que seja sec^(n-2)(u) e a função a ser integrada seja sec²(u). Logo:

$\sf r = \sec {}^{n - 2} (u) \: \: \to \: \: r = ( \sec {}^{} (u))^{n - 2} \\ \sf \frac{dr}{du} = (n - 2).( \sec(u)) {}^{n - 2 - 1} . \frac{d}{dx} ( \sec(u)) \\ \sf \frac{ dr}{du} = (n - 2). \sec {}^{n - 3}(u) . \sec(u). \tan(u) \\ \sf \frac{dr}{du} = (n - 2) . \sec {}^{n - 3 + 1}(u) . \tan(u) \\ \sf \frac{dr}{du} = (n - 2) . \sec {}^{n - 2}(u) . \tan(u) \\ \\ \sf dv = \sec {}^{2} (u) \: \: \to \: \: \int dv = \int \sec {}^{2} (u) \\ \sf v = tan(u)$

Substituindo essas informações na relação da integração por partes:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \sf \int v.du = u.v - \int v.du \\ \sf \int \sec {}^{n - 2} (u). \sec {}^{2} (u) = \sec {}^{n - 2}(u) . \tan(u) - \int \tan(u).(n - 2) . \sec {}^{n - 2}(u) . \tan(u) \\ \sf \int \sec {}^{n - 2} (u). \sec {}^{2} (u) = \sec {}^{n - 2}(u) . \tan(u) - (n - 2) \int \tan {}^{2} (u). \sec {}^{n - 2} (u) \: du \\ \sf \int \sec {}^{n - 2} (u). \sec {}^{2} (u) = \sec {}^{n - 2}(u) . \tan(u) - (n - 2) \int ( \sec {}^{2} (u) - 1). \sec {}^{n - 2} (u) \: du \\ \sf\int \sec {}^{n - 2} (u). \sec {}^{2} (u) = \sec {}^{n - 2}(u) . \tan(u) - (n - 2) \int \sec {}^{n} (u) - \sec {}^{n - 2} (u) \: du \\ \sf\int \sec {}^{n - 2} (u). \sec {}^{2} (u) = \sec {}^{n - 2}(u) . \tan(u) - (n - 2) \int \sec {}^{n} (u) + (n - 2) \int\sec {}^{n - 2} (u) \: du$

Vamos condensadar a parte da integral do primeiro membro:

$\sf\int \sec {}^{n } (u)du= \sec {}^{n - 2}(u) . \tan(u) - (n - 2) \int \sec {}^{n} (u) du + (n - 2) \int\sec {}^{n - 2} (u) \: du$

Combinando os termos iguais:

$\sf\int \sec {}^{n } (u)du= \sec {}^{n - 2}(u) . \tan(u) - (n - 2) \int \sec {}^{n} (u) du + (n - 2) \int\sec {}^{n - 2} (u) \: du \\ \\ \sf\int \sec {}^{n } (u)du + (n - 2) \int \sec {}^{n} (u) du= \sec {}^{n - 2}(u) . \tan(u) + (n - 2)\int\sec {}^{n - 2} (u) \: du \\ \\ \sf (1 + (n - 2)) \int\sec {}^{n} du= \sec {}^{n - 2}(u) . \tan(u) + (n - 2)\int\sec {}^{n - 2} (u) \: du \\ \\ \sf (n - 1)\int \sec {}^{n} du = \sec {}^{n - 2}(u) . \tan(u) + (n - 2) \int\sec {}^{n - 2} (u) \: du \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf \int \sec {}^{n}(u) = \frac{ \sec {}^{n - 2}(u). \tan(u) }{n - 1} + \frac{(n - 2)}{(n - 1)} \int \sec {}^{n - 2} (u)du}}}$

Espero ter ajudado