Question

verificar se os pontos A(1;2), B(-2;2), e C (3;-1) estão alinhados. da prova Alguém me ajuda ​

Answer 1

Resolução da questão, veja bem.

Os três pontos mostrados na questão não estão alinhados.

Para resolvermos esse problema, devemos saber qual a condição de alinhamento entre três pontos.

• Dados três pontos, A, B e C, tais que:

A (x₁ ; y₁)

B (x₂ ; y₂)

C (x₃ ; y₃)

Diz-se que estes pontos estão alinhados se o seguinte determinante for igual a 0 :

$\begin{vmatrix} \sf{x_1}&\sf{y_1} &\sf{1} \\ \sf{x_2}& \sf{y_2} & \sf{1} \\ \sf{x_3}&\sf{y_3} &\sf{1} \\ \end{vmatrix}=\sf{0}$

Sabendo disso, vamos montar o determinante com os pontos fornecidos:

$\begin{vmatrix} \sf{x_1}&\sf{y_1} &\sf{1} \\ \sf{x_2}& \sf{y_2} & \sf{1} \\ \sf{x_3}&\sf{y_3} &\sf{1} \\ \end{vmatrix}~\Rightarrow~\begin{vmatrix} \sf{1}&\sf{2} &\sf{1} \\ \sf{-2}& \sf{2} & \sf{1} \\ \sf{3}&\sf{-1} &\sf{1} \\ \end{vmatrix}$

Agora vamos calcular o valor desse determinante. Para esse cálculo, usarei a regra de Chió. Essa regra permite o cálculo de determinantes através da redução de ordem da matriz.

$\begin{vmatrix} \sf{1}&\sf{2} &\sf{1} \\ \sf{-2}& \sf{2} & \sf{1} \\ \sf{3}&\sf{-1} &\sf{1} \\ \end{vmatrix}~\Rightarrow~\begin{vmatrix} \sf{2-(-2)\cdot 2}& \sf{1-(-2)\cdot1} \\ \sf{-1-3\cdot 2} & \sf{1-3\cdot 1} \\ \end{vmatrix}\\ \\ \\ \begin{vmatrix} \sf{6}& \sf{3} \\ \sf{-7} & \sf{-2} \\ \end{vmatrix}~\Rightarrow~\sf{det(A)=21-12}\\ \\\\ \sf{det(A)=9}$

Após os cálculos, encontramos que o determinante dessa matriz não é igual a 0, ou seja, teremos que os pontos não estão alinhados.

Espero que te ajude!
Bons estudos!

Aprenda mais em:

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Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os referidos pontos:  

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf N\tilde{a}o\:s\tilde{a}o\:colineares\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os pontos:      

                       $\Large\begin{cases} A = (1, 2)\\ B = (-2, 2)\\ C = (3, -1)\end{cases}$

Para que estes pontos sejam colineares é necessário que o determinante da seguinte matriz "M" seja igual a "0":  

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}M = \begin{bmatrix}1 & 2 & 1\\ -2 & 2 & 1\\ 3 & -1 & 1\end{bmatrix} \end{gathered}$

Calculando o determinante de "M", temos:  

    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\det M = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1\\ -2 & 2 & 1\\ 3 & -1 & 1\end{vmatrix}\begin{matrix}1 & 2\\ -2 & 2\\ 3 & -1\end{matrix} \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} = 1\cdot2\cdot1 + 2\cdot 1\cdot3 + 1\cdot(-2)\cdot(-1) - 2\cdot(-2)\cdot1 - 1\cdot1\cdot(-1) - 1\cdot2\cdot3\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2 + 6 + 2 + 4 + 1 - 6\end{gathered}$

Portanto, o valor do determinante é:        

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \det M = 9\end{gathered}$

✅ Se o determinante é diferente de "0" então, os pontos:    

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}N\tilde{a}o\:s\tilde{a}o\:colineares \end{gathered}$

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