Question

Verificar se os pontos A(1, 2, 4) , B(-1, 0, -2), C(0, 2, 2) e D(-2, 1, -3) são coplanares.

Answer 1

Os pontos A, B, C, D  serão coplanares se o produto misto entre os vetores AB, AC, e AD for igual a 0.
AB=B-A=(-2,-,2,-6)
AC=C-A=(-1,0,-2)
AD=D-A=(-3,-1,-7)

$\left[\begin{array}{ccc}-2&-2&-6\\-1&0&-2\\-3&-1&-7\end{array}\right] =-12-6+4+14=0$

Logo, os pontos A, B, C, D são coplanares

Answer 2

Sim, os pontos A, B, C e D são coplanares.

Explicação:

Primeiramente, é preciso formar os três vetores com os pontos dados. Então, podemos formar os seguintes vetores:

AB = B - A ⇒ (-1 - 1, 0 - 2, -2 - 4) = (-2, -2, -6)

AC = C - A ⇒ (0 - 1, 2 - 2, 2 - 4) = (-1, 0, -2)

AD = D - A ⇒ (-2 - 1, 1 - 2, -3 - 4) = (-3, -1, -7)

Para que esses pontos sejam coplanares, o produto misto entre eles deve ser zero.

O determinante da matriz formada por esses pontos deve ser igual a zero.

$\left[\begin{array}{ccc}-2&-2&-6\\-1&0&-2\\-3&-1&-7\end{array}\right]$

Pela regra de Sarrus, temos:

$\left|\begin{array}{ccc}-2&-2&-6\\-1&0&-2\\-3&-1&-7\end{array}\right|\left\begin{array}{ccc}-2&-2\\-1&0\\-3&-1\end{array}\right$

Diagonal principal:

(-2)·0·(-7) + (-2)·(-2)·(-3) + (-6)·(-1)·(-1) =

0 - 12 - 6 = - 18

Diagonal secundária:

(-6)·0·(-3) + (-2)·(-2)·(-1) + (-2)·(-1)·(-7) =

0 - 4 - 14 = - 18

O determinante é:

diagonal principal - diagonal secundária =

- 18 - (- 18) = - 18 + 18 = 0

Como o determinante foi igual a 0, esses pontos são coplanares.

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