Question

Verificar se π1 e π2 são planos perpendiculares:
a. π1: 3x + y − 4z + 2 = 0 e π2: 2x+6y+3z = 0

Answer 1

Temos os seguintes planos:

$\begin{cases}\sf \pi_{1} : \: 3x + y − 4z + 2 = 0 \\ \sf π_{2}: 2x+6y+3z = 0 \end{cases}$

• Para que dois planos sejam perpendiculares, o produto escalar dos vetores normais de cada um dos planos deve ser igual a 0.

Identificando os vetores normais:

Devemos lembrar que a equação de um plano é dada pela seguinte estrutura:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \sf ax + by + cz + d = 0$

Sendo que para encontrar esta equação utiliza-se do seguinte produto escalar:

$\sf \vec{n} \cdot \vec{P} = 0 \to \begin{cases} \sf\vec{n} = (a, \: b, \: c) \\ \sf \vec{P} = (x, \: y , \: z )\end{cases}$

Aplicando esta ideia nos planos fornecidos pela questão, temos que os vetores normais "n" de cada um dos planos são iguais a:

$\begin{cases} \sf \pi_{1} : \: (3, \: 1, \: - 4) \\ \sf \pi_{2} : \: (2, \: 6, \: 3) \: \: \: \end{cases}$

Agora vamos ver se o produto escalar destes dois vetores normais é igual a 0.

$\sf (3, \: 1, \: - 4) \cdot(2,6,3) = 3.2 + 1.6 + ( - 4).3 \\ \\ \sf 6 + 6 - 12 = \boxed{\sf 0}$

Temos então que estes planos são sim perpendiculares.

Espero ter ajudado