Vamos supor que possamos continuar a operar com os números complexos como se operar os números reais respeitando-se apenas a novidade que decorre do fato de termos i2=-1 (i elevado a 2 igual a menos 1) . Determine as soluções para as situações a seguir:
a) i7
b) i5 + i8
c) i4 + i9 - i6
d) (-1 + i) 3
(TODOS OS NUMEROS ESTÃO ELEVADOS NÃO MULTIPLICADOS)
Soluções para a tarefa
As soluções para as situações a seguir são: a) i⁷ = -i; b) i⁵ + i⁸ = i + 1; c) i⁴ + i⁹ - i⁶ = 2 + i; d) (-1 + i)³ = 2i + 2.
É importante lembrarmos das seguintes potências de i:
- i⁰ = 1
- i¹ = i
- i² = -1
- i³ = -i.
a) Ao dividirmos 7 por 4, obtemos: 7 = 1.4 + 3.
Sendo assim, podemos afirmar que i⁷ = i³ = -i.
b) Da mesma forma, temos que 5 = 1.4 + 1 e 8 = 2.4 + 0.
Sendo assim, a soma i⁵ + i⁸ é igual a:
i⁵ + i⁸ = i + 1.
c) Fazendo as divisões de 4, 9 e 6 por 4, obtemos:
4 = 1.4 + 0
9 = 2.4 + 1
6 = 1.4 + 2.
Portanto, a expressão i⁴ + i⁹ - i⁶ é igual a:
i⁴ + i⁹ - i⁶ = 1 + i - (-1)
i⁴ + i⁹ - i⁶ = 2 + i.
d) Vamos resolver a multiplicação (-1 + i).(-1 + i). Assim, encontramos:
(-1 + i)*(-1 + i) = -2i.
Agora, vamos resolver a multiplicação (-2i).(-1 + i). Portanto:
(-2i)*(-1 + i) = 2i - 2i²
(-2i)*(-1 + i) = 2i - 2(-1)
(-2i)*(-1 + i) = 2i + 2.