Question

Vamos assumir o resultado em Geometria euclidiana plana que afirma que: Todo polígono regular de n lados pode ser decomposto em n triângulos congruentes que possuem um vértice em comum, chamando de centro do polígono.

Assim, a figura a seguir ilustra a decomposição de um eneágono (N=9). Nela destaca-se ainda um de seus ângulos internos (GHI=A) e o triângulo equiláteroADG.



(a) Utilizando os nove triângulos presentes na decomposição do eneágono, desenvolva uma argumentação que permita determinar a medida, em graus, de um ângulo interno, do eneágono.



(b) Encontre as medidas dos ângulos internos do quadrilátero ABCD .

Answer 1

Resposta:

a) Veja a demonstração abaixo

b) ABC = BCD = 140º

BAD = ADC = 40º

Explicação passo-a-passo:

a) O que se pretende é determinar a medida de um ângulo interno, por exemplo, o ângulo GHI (a).

Sabemos que a medida de um ângulo interno de um polígono regular de n lados (a) é dado por:

a = (n - 2) × 180º ÷ n

Neste caso, como n = 9, temos:

a = (9 - 2) × 180º ÷ 9

a = 7 × 180º ÷ 9

a = 1.260 ÷ 9

a = GHI = 140º

Para provar, vamos considerar dois dos 9 triângulos isósceles em que o eneágono está dividido, por exemplo, os triângulos GOH e HOI.

O segmento OH é bissetriz do ângulo GHI (pois GH = HI). Então, o ângulo GHO tem a mesma medida que o ângulo IHO e, como consequência, cada um deles mede a metade do ângulo GHI (a):

GHO = IHO = a/2

Considerando agora o triângulo GHO, temos como soma de seus ângulos internos:

GHO + HGO + HOG = 180º [1]

Os ângulos GHO e HGO têm a mesma medida (a/2), pois o triângulo GHO é isósceles. O ângulo HOG mede 40º (360º/9). Então, substituindo estes valores em [1] temos:

a/2 + a/2 + 40º = 180º

a = 180º - 40º

a = 140º (cqd)

b) No quadrilátero ABCD, temos:

- a soma dos ângulos internos (Si) de um quadrilátero é igual a:

Si = (4 - 2) × 180º

Si = 360º

Neste quadrilátero, temos os ângulos:

ABC = BCD = 140º, como provamos acima na reposta ao item a).

Resta então obter as medidas dos ângulos DAB e ADC.

Sabemos que eles têm a mesma medida, pois o quadrilátero é simétrico com relação à mediatriz da corda AD (ou da bissetriz do ângulo BOC):

DAB = ADC [1]

Então:

ABC + BCD + DAB + ADC = 360º

140º + 140º + DAB + ADC = 360º

DAB + ADC = 360º - 280º

DAB + ADC = 80º

Como DAB = ADC:

DAB + DAB = 80º

2DAB = 80º

DAB = 80º/2

DAB = 40º

ADC = 40º