Question

Vamos assumir o resultado em geometria euclidiana plana que afirma que: Todo polígono regular de n lados pode ser decomposto em n triângulos congruentes que possuem um vértice em comum, chamando de centro do polígono.
Assim, a figura a seguir ilustra a decomposição de um eneágono (n=9). Nela destaca-se ainda um de seus ângulos internos (GHI= a) e o triângulo equilátero ADG.
(a) Utilizando os nove triângulos presentes na decomposição do eneágono, desenvolva uma argumentação que permita determinar a medida, em graus, de um ângulo interno, do eneágono.
(b) Encontre as medidas dos ângulos internos do quadrilátero ABCD. ​

Answer 1

Observe que no centro do eneágono, os 9 ângulos dos triângulos formam uma circunferência, logo, a soma destes ângulos é igual a 360°, então este ângulo central dos triângulos é igual a:

9x = 360°

x = 40°

Sabe-se também que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, mas note que os triângulos da figura são isósceles, o que significa que os ângulos da base são iguais, assim, temos:

180° = 2y + 40°

2y = 140°

y = 70°

Sabemos que o ângulo a é a soma de dois ângulos y, ou um ângulo interno do eneágono, logo, este ângulo interno mede 140°.

Para o quadrilátero ABCD, note que o triângulo AGD é equilátero, então seus ângulos internos medem 60°. Sabendo que o ângulo externo do eneágono mede 220°, temos que o ângulo DÂB e consequentemente ADB medem:

DÂB = (360° - 220° - 60°)/2

DÂB = 40°

Os ângulos desse quadrilátero são:

DAB = 40°

ADC = 40°

ABC = 140°

BCD = 140°