Question

VALENDO 80 PTS:

Prove por indução matemática que:

$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$

Answer 1

Supondo que essa relação seja válida para n ≥ 1:

1°) Caso base: n = 1

1³  deve ser igual a 1².(1+1)² / 4

1  = 1(2)²/4

1 = 1 (Verdadeiro)

2°) Hipótese de Indução:

Se essa igualdade

$1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = \frac{(k)^2.(k+1)^2}{4}$

é verdadeira, logo (aplicando o passo indutivo):

$1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2.((k+1)+1)^2}{4}$

também deve ser.

Manipulando algebricamente a equação:

$1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2.((k+1)+1)^2}{4}$

-- Pela propriedade associativa da soma:

$(1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3) + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2.((k+1)+1)^2}{4}$

O que está em parênteses no primeiro membro será substituindo por k².(k+1)²/ 4

$(1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3) + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2.((k+1)+1)^2}{4}\\\\\frac{k^2.(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2.(k+2)^2}{4}\\\\\frac{k^2.(k+1)^2}{4} + \frac{4.(k+1)^3}{4} = \frac{(k+1)^2.(k+2)^2}{4}\\\\\frac{k^2.(k+1)^2+4(k+1)^3}{4} = \frac{(k+1)^2.(k+2)^2}{4}\\\\\frac{k^2.(k^2+2k+1)+4.(k^3+3.k^2+3.k+1)}{4} = \frac{(k+1)^2.(k+2)^2}{4}\\\\\frac{k^4+2k^3+k^2+4k^3+12k^2+12k+4}{4} = \frac{(k+1)^2.(k+2)^2}{4}\\\\\frac{k^4+6k^3+13k^2+12k+4}{4}$

Devemos provar que o primeiro membro é igual ao segundo. Se, o desenvolvimento do segundo membro der igual ao primeiro, estará provado por indução.

Desenvolvendo (k+1)² = (k²+2k+1)

Desenvolvendo (k+2)² = (k²+4k+4)

Multiplicando os dois desenvolvimentos.

(k²+2k+1).(k²+4k+4) = k⁴+4k³+4k²+2k³+8k²+8k+k²+4k+4 = k⁴+6k³+13k²+12k+4

Como o primeiro membro é igual a  (k+1)².(k+2)² / 4, por hipótese de indução, está provada a veracidade da igualdade inicial.

                                                                                                          $\blacksquare$